不定方程:y^3-x^2=4
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1）1到2005中最多可以选出多少个数，使得其中任何两个数之和都不能被他们的差整除
2）从1到2000中抽取一些数，使得任意两个数之差不等于5或8，求最多可取多少个数
3）10个人到书店去买书，已知：每人都买了3种书，任何两个人买的书中，至少有一种相同，问购买人数最多的一种书最少有几人购买
4）平面上的每个点都以红色或蓝色着色，证明：存在两个相似三角形它们的相似比是1995，并且每个三角形三个顶点同色
5）把1到67共67个正整数任意分成四部分，求证：必有一部分，其中有一个数是另外两个数的差，或者一个数是另外一个数的两倍
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平面上每个点都被染上N种颜色中的一种。1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在一条直线上。2）至少有一条直线上所有点恰为2种颜色。求n的最小值，使得存在互不同色的四点共圆
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求证：若平面内四圆两两相外切于不同点，则(1/r1+1/r2+1/r3+1/r4)^2 = 2(1/r1^2+1/r2^2+1/r3^2+1/r4^2)
而且条件应该是外切。
其中r1，r2，r3，r4为四圆的半径。
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求最大正整数r，使以任何方式将K14二染色时，总存在具有相同颜色的r个三角形，其中任何两个三角形无公共点。
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1·设q是奇素数,(a/q)=-1,求证存在整数b使得(b/p)=-1对
所有的奇素数p成立，其中p≡a(mod q)
2·设(a/q)=1,求证不存在b使得(b/p)=-1对所有奇素数p成
立，其中p≡a(mod q)
(提示：可用狄里克雷定理：当a，p互素时，等差数列
a,a+p,a+2p,……中存在无穷多个素数)
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1，2，3……15这15个数中，最多选出多少数
使得选出的数任三个之和不是完全平方数
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求a1/(a2+a3)+a2/(a3+a4)+...+an/(a1+a2)的下限
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就是数学竞赛之窗冲刺卷5的加试最后一题，也是今年国家队选拔卷第一次的第二题。
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在三角形ABC中 O为外心 做AH⊥BC 垂足为H 过H做HT⊥AB HT’垂直AC 且AC=2OT 求证 ： AB=2OT’
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