把22式代入20式、21式，得
▽2A－εμ ∂2 A/∂2t =－μ.j
▽2φ－εμ ∂2φ/∂2t =－ρ/ε
.........................................................................................23式
这就是运动电子电磁势的达朗贝尔方程。
很显然，上面达朗贝尔方程电子电磁势的数学解为如下形式
φ(r，t ) = －∮∮ρds/ε＋∮Edr＋φ0 .exp[i ω.(t±r/c)]
A(r，t ) = －∮∮jds＋∮Bdr＋A0 .exp[i ω.(t±r/c)]
.........................................................................................24式
第一项表示运动电子的静电磁势，第二项表示运动电子匀速状态下的恒定的电磁矢势，第三项表示运动电子在变速状态下的辐射或吸收的电磁矢势。
当ρ=0时，电磁势的解可表示为
φ(r，t )= ∮Edr＋φ0 .exp[i ω.(t±r/c )]
A(r，t ) = ∮Bdr＋A0 .exp[i ω.(t±r/c )]
.........................................................................................25式
可令∮Edr=nφ，∮Bdr=nA，则得
φ(r，t )= nφ＋φ0 .exp[i ω.(t±r/c )]
A(r，t ) = nA＋A0 .exp[i ω.(t±r/c )]
.........................................................................................26式
其中φ，A分别为常矢。电磁势波波函数已经包含了电磁场的存在。电磁波在传播过程中与光波的物理性质相似。

这就是波函数的量子化公式

这个没有人讨论么？

四，达朗贝尔方程的数学解
在笛卡尔坐标系中，在y—X轴上，设函数y的达朗贝尔方程为
d2y/dx2－(1/c2)d2y /dt2= f(x)
.........................................................................................27式
当 f(x)=a常数时，其解为
y(x，t )=ax2/2＋bx＋y0 [sin (ω.t±ω.x/c )＋cos(ω.t±ω.x/c )]
或
y(x，t )=ax2/2＋bx＋y0 .exp[i ω.(t±x/c )]
.........................................................................................28式
可以认为上式是一个复合波函数，表示波函数沿着二次曲线或抛物线的路径传播。图略。
由于二次曲线中x受波函数约束，所以，在一个周期内，当ω.x/c=2nπ时，则
X = nλ
.........................................................................................29式
λ是波函数的波长，把上式代入21式，中， 得
y(n)=an2λ2/2＋nbλ＋y0 .exp(i 2nπ )
.........................................................................................30式
这是复合波函数的量子化本征值表达式。图略。
当 a=0时，波动方程的解为

y(x，t )=bx＋y0.exp[i ω.(t±x/c )]
.........................................................................................31式
很显然，波动方程中波函数的传播路径为任意直线。
那么波函数的量子化本征值表达式为
y(n)=nbλ＋y0 .exp(i 2nπ )
.........................................................................................32式
当 f(x)不为常数时，其通解可以表示为
y(x，t )=∫[∫f(x)dx＋b]dx＋y0 .exp[i ω.(t±x/c )]
.........................................................................................33式
对于波函数沿着一般圆锥曲线传播，其微分方程组为
(y＋a/2)d2y/dx2＋(dy/dx＋b/2) dy/dx ＋K = 0
d2y/dx2－(1/c2)d2y /dt2= 0
当a= b= 0时，上式化为标准二次圆锥曲线微分方程组
yd2y/dx2＋(dy/dx)2 ＋K = 0
d2y/dx2－(1/c2)d2y /dt2= 0
.........................................................................................34式
当K = 0时，其解为
y2=ax
y(x，t )=y0 .exp[i ω.(t±x/c )]
或
y(x，t )=±(ax1/2)＋y0 .exp[i ω.(t±x/c )]
.........................................................................................35式

上式表示波函数沿着抛物线的轨迹传播。图略。
当K ≠ 0时，其解为
y2=a－kx2
y(x，t )=y0 .exp[i ω.(t±x/c )]
或
y(x，t )=±[(a－kx2)1/2]＋y0 .exp[i ω.(t±x/c )]
.........................................................................................36式
当K = 1时，波函数沿着圆周的轨迹传播。
当K ＜ 0时，波函数沿着双曲线的轨迹传播。
当K ＞ 0时且K ≠1时，波函数沿着椭圆的轨迹传播。图略。
五，克服势场向心力做功
设运动电子在外磁场中做圆周运动，则其所受到的洛沦兹力F为
F=qu×B
洛沦兹力所受的磁场约束能W为
W=－∫F.dr=q∫(u×B).dr
dr为圆心矢径方向，移项，得
W=qB.∫(u×dr)
令u=ω×r，L=m0.ωr2/2，得
W=qB.L/2m0

发完了，这是一个完整的东东，十五年才得到这么一点东西，即使物理上有点炒剩饭的嫌疑，但数学上却是推开了一扇门。

你哪些2是平方，可否用，²，表示一下或用cc表示

2是平方的意思，但发到帖吧里变形了。

关于达朗贝尔方程的数学解及物理意义
对于这里的数学描述，都是在笛卡尔参考系内进行的表达。
一，参速不变原理
在一维X轴上，设线段x0在时间t内以u速运动，则线段x0的总长度为
x = x₀ + ut
..........................................................................................1式
根据参速c的不变性，有x= c·t，x0= c·t0，则上式可表示为
x = x₀ + u·x/c
对于粒子做圆周运动， 设r0为圆周半径，有
r² = r₀²+ (u·t)²
.........................................................................................2式
把r= c·t，r₀= c·t₀代入上式，得
r² = r₀²/ (1－u²/c²)
即
t² = t₀²/ (1－u²/c²)
..........................................................................................3式
比如在回旋加速器中，电子在磁场中做圆周运动，可以
观察到时间周期的延迟效应。
对于运动电子的总能量可以表示为复合能量的形式，设运动电子的静止能量E0为
E₀= m₀·c²
如果电子得到了一个场能量h·ω = p·c，其产生了运动，则运动电子的总能量E为
E= m₀·c²+ h·ω
即
E= m₀·c²+ p·c
..........................................................................................4式
总能量E为一个复合能量，其中h为普朗克常数。
由于电子有静止质量m₀，它的牛顿动能量为
W=m₀·u²/²
在这里，运动电子所产生的场动量与牛顿动能量显然不是一个物理概念。
二，波函数的物理量
设一个矢量L可以表示为旋量的形式，则有
L = y × u
..........................................................................................5式
分别对上式取二次旋度，令u = dr/dt，则得
▽²L － (1/u²)∂²L /∂t²= 0
▽²y － (1/u²)∂²y /∂t²= 0
为了方便，只用复数表示，其方程的解可以取
L (r，t ) = L₀＋L₀₁ ·exp[i ω·(t±r/u )]
y(r，t ) = y₀＋y₀₁ ·exp[i ω·(t±r/u )]
..........................................................................................6式
同理，如果一个矢量波函数都可以表示为速度的旋量场形式。
令角动量L的能量为E= L·ω，则
E = (r × p)·ω = r·(p×ω)
在角动量场中，力F可以定义为
F = p×ω
..........................................................................................7式
在角动量场中，力F是一个旋量场。
设任一角动量场L的达朗贝尔方程为
▽²L － (1/c²)∂²L/∂t²= F/c
其上面的解为
L(r，t ) = F·r²/c²＋∮p·dr＋L₀·exp[i ω·(t±r/c )]
..........................................................................................8式
动量p为常矢。
当F/c=0时，化为波动方程
▽²L － (1/c²)∂²L /∂t²= 0
其方程的解可以取
L(r，t ) = ∮p·dr＋L₀·exp[i ω·(t±r/c )]
..........................................................................................9式
令∮p·dr=nh，则得
L(r，t ) = nh＋L₀·exp[i ω·(t±r/c)]
..........................................................................................10式
角动量场是量子化的。
不妨假设光子能量场W(r，t ) 的波动方程为
▽²W － (1/c²)∂²W/∂t²= 0
..........................................................................................11式
则其解为
W(r，t ) = ∮F·dr＋W₀·exp[i ω·(t±r/c)]
..........................................................................................12式
可令∮F.dr=nh·ω，则得
W(r，t ) = nh·ω＋W₀·exp[i ω·(t±r/c)]
..........................................................................................13式
显然，光子场能量场可以分两部分能量，一是它的量子性场能量，二是它的波动能量场。其能量场，动量场都是可量子化的波粒子。
从这里可以看出，一般物质波函数的物理意义并不是唯一确定的。

由波函数解可知，电磁波是一份一份传播的，对电子作用也是量子化的，电子得到的电场能W=neφ，动量P=neA

波函数可以作为物理背景场的意义。

所以，引力场的量子化绕不开波函数，也绕不开背景场的存在。背景场保存了其量子化的特点。

氢原子光谱的玻尔解法，其能量，动量，角动量都是牛顿的定义。