回复：难题记录贴

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最后一行，用一下28楼的结论。
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此题可以推广。
2011和2010可以变，被积函数可以变。
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stolz定理。等价无穷小。
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积分放缩。夹逼准则。
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竞赛题改编。 @神马都浮云2
这题有一些难度。
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第一问还是很简单的。
f(x) 在 x >= 0 上连续，在 x > 0 上可导。
计算 f(0) 和 f(r)，零点定理得到在 0 到 r 上有根。
求导得 f(x) 严格单调递增。
所以 在 x >= 0 上，有且只有一个根。
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xn 是 fn(x) = 0 的根。
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r = 1是最难的部分，这里先讲 r = 1 。
单调递减有下界。
单调有界原理，数列极限存在。
假设极限为A，则极限A大于等于零。
假设极限A大于零，得到A等于零矛盾，所以极限A只能等于零。
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当 r > 0 且 r 不等于 1 时，分情况使用夹逼准则，可以得到 xn 的极限。
单调有界原理的证明过程，见后面的图。
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当 r > 1 时，通项极限不是零，所以级数发散。
当 0 < r <= 1时，级数敛散性后面会讨论。
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0 < r < 1 时，单调递减有下界。
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1 < r < 2 时，单调递减有下界。
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r > 2 时，单调递增有上界。
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当 r = 1 时，级数发散。
正项级数，比较判别法的极限形式，ln 等价无穷小。
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当 0 < r < 1 时，
正项级数，比较判别法。
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因为级数不变号，所以可以看成正项级数，使用比较判别法的极限形式。
使用 ln 等价无穷小。
和 1/n * ln (xn) 同敛散。
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一个数列极限的题目。
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泰勒公式，带拉格朗日余项。
先写出n+1阶的拉格朗日余项。
最后一行改为n+2阶的拉格朗日余项，后面会用到n+2阶的拉格朗日余项。
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泰勒展开。
将前面的项记为An，显然n!乘以An是整数，再乘以2π，在sin里面用诱导公式消去2π的整数倍。
sin内部是无穷小，等价无穷小，拿掉sin
然后后一项是e^(θn)是有界量，n/(n+1)(n+2)是无穷小量，所以极限是2π
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将sin内部的2拿掉，则过程类似，但是有一点区别。
将An前面的项，含有蓝式因子的单独拿出来。
蓝色式子，可以转为红色因子。因为n是整数，所以n(n+1)肯定是偶数。
然后用诱导公式，剩下的解法和上个图一样。
最终答案是极限不存在，因为多了一个(-1)^(n+1)，奇偶项极限不一样。
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转载一个题目和解法
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解法
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含参积分。
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这里省略了积分的一致收敛性证明，积分的收敛性证明。
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一类题目的总结。
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一个答案，这个答案不够详细，后面有更详细的答案。
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题目和另一种答案。
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更详细的答案。后面会对这个答案进行讲解。
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这里以第一卦象画图举例。
因为球是对称图形，所以任意取一个单位向量做为新坐标轴，显然可以构造得到一个新的3维坐标系。
所以上图的方法2里面，不需要写出另外两个变换关系。
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球心到平面Pu的距离d = |u|
取u + du
则球面窄条的体积微元，可以看成是一个柱体。
高度是du，底是截面圆的面积就是π*r²，其中r² = R² - d²
R是球半径，d是球心到平面Pu的距离
所以dV = π(1-u²)du
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转截一个题目和解答，后面会做讲解。
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反向利用第一类曲面积分的参数方程。
过程如下：
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第一类曲面积分的计算，这里使用常规解法。
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题目
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题目重新写一遍。
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答案：第一种解法：
参考45楼第一种解法，取平面ax+by+cz=sqrt(x²+y²+z²)u，计算窄条面积微元，可以参考46楼的计算方法。
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第二种解法：
参考45楼第二种解法，雅可比坐标变换，雅可比系数为1。
计算曲面积分，可以参考46楼的计算方法。用微元法或者常规解法都可以。常规解法时，要分w正负两种情况分别计算。
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伏汝兰尼积分
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转载自 @神琦冰河
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下图的积分转载自 @神琦冰河 链接2楼：http://tieba.baidu.com/p/5584245319
想知道积分是如何计算出来的，可以点链接进去，去链接里面提问。
我的这个帖子里面不做解答，谢谢合作。
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(1)和(2)是常见的积分，结论很常用。
这个楼层主要计算(3)
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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级数展开。
交换积分符号和累加符号的顺序。
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分部积分。
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计算第一图的(3)
拆开积分区间，倒代换。
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将(3)化为(2)
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一个经典的题目
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网上有很多不严谨的答案。这里给出一个严谨的答案。
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下面给出一个严谨的书本解答。
后面我会对书本的解答做更详细的讲解。
分别计算an和bn的极限，最后加起来就是答案。
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这里取的辅助数列有重复的项，不是严格单调递增的。
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先证明几个不等式，后面会用到。
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计算an的极限。
定积分的放缩。
求出定积分的积分值，不等式的放缩。
夹逼准则。
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整理bn的式子。
不等式放缩。
做差。
不等式放缩。
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不等式放缩和红色式子的使用，在下下张图里面会有详细讲解。
对 k/n 进行不等式的放缩。
使用等比数列求和公式，加上不等式的放缩。
夹逼准则。
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求导证明单调性，不等式放缩。
当n足够大时，也就是n大于N时， 所有的k/n 都在0到1/2之间，所以不等式能成立。
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等比数列求和公式，取极限。
计算得到bn的极限。
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这种题一直往下加边，竟然跟打了鸡血一样

还有上边的黎曼和形式的加边，用euler-maclaurin公式估阶