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转载一个题目和解法。
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证明数列极限。
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题目和解法。
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题目和解法。
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41楼先看懂。
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泰勒展开。
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题目
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定积分转换为二重积分。
三角函数的积化和差公式，三角函数的和差化积公式。
雅可比坐标系变换。
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D(uv)就是下图的D1 + D2
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因为被积区域关于 v = 0 对称，被积函数是 v 的偶函数，转为2倍的D1区域的积分。
又因为被积函数关于 x,y 轮换对称，所以 D3区域的积分等于D1区域的积分。
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将上面的D1 + D3区域合并为区域D4，再将D4区域沿绿线对称，得到区域D5。
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雅可比变换，D(xy)就是区域D5
将u,v,x,y变量全部换回到 θ 和 φ
将区域D6和D7合并。
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原题目等号左边式子化为两个定积分的乘积，再使用 t = π/2 - θ，和 t = π/2 - φ，区间再现公式，易得下图的第七行和第八行。
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转载一个题目
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点点点表示无穷多项，也就是级数的意思。
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第一种解法
将1/(n+k+1)转为0到1对x^(n+k)的积分。
然后等比级数求和。
易证数列an严格单调递减。
不等式放缩，夹逼准则。
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再转载两个其他的解法。
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因为数列前有限项不影响数列的极限，所以n可以从一个比较大的正整数开始。
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这个stolz定理解法，是分别取4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3一共四个子列，然后证明四个子列的极限均为1/2，从而得到原数列的极限为1/2
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转载一个题目和解法
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一个积分
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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题目。
点点点是级数。
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转为二重积分，或者含参积分。
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交换积分符号和累加符号。
计算级数的部分和。刚好满足裂项相消。
对部分和取极限。
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第一行是巴塞尔问题，二重对数积分函数。
这个楼层的后面图片会有更详细的讲解。
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计算(1)-(7)的积分或级数的值。
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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巴塞尔问题。
下图第一行的计算过程，请自行百度搜索，网上有很多解法。
下面把级数按奇偶项拆开，分别写成两个级数。
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幂级数展开。
交换积分符号和累加符号。
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幂级数展开。
交换积分符号和累加符号。
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红色部分解方程组，可以得到结果。
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级数转为积分。
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上图其实就是Li2(1/2)。巴塞尔问题是Li2(1)。
下图是二重对数积分函数的定义。
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幂级数展开。
交换积分符号和累加符号。
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一个积分
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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题目。
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化简，级数展开。
交换积分符号和累加符号。
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转为二重积分，或者含参积分。
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定义级数通项an, 定义级数部分和Sn。
对数运算法则，ln外部加法相当于ln内部乘法。
证明S(2n-1)和S(2n)的极限存在，并且值相等，得到级数收敛。
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红色的 π/2 是wallis公式，请自行百度搜索。
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一些常见的积分整理。
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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计算积分(1)。
下图第二行和第九行用到了区间再现公式，证明过程请点到链接里面去看。
区间再现公式和周期函数平移公式贴子链接： http://tieba.baidu.com/p/591063658
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含参积分。
积分 I(a) 关于 a 是偶函数。
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蓝色积分的结果，后面的图里面有详细过程。
粉色积分的结果，后面的图里面有详细过程。
最后两行使用牛顿莱布尼茨公式。
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计算上图蓝色的积分。
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下图第二行用到了区间再现公式，证明过程请点到前面的链接里面去看。
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计算上上图粉色的不定积分，求原函数。
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讨论积分(2)的所有情况。
易证积分关于 a 是偶函数。
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下图第六行用到了区间再现公式，证明过程请点到前面的链接里面去看。
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计算积分(3)，使用积分(2)。
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计算积分(4)，使用积分(3)。
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三角函数的二倍角公式。
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计算积分(5)，使用(3)。
易证积分关于 r 是偶函数。
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计算积分(6)，使用积分(4)。
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一个积分
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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题目。
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含参积分求导。
下图蓝色积分的计算过程在69楼。
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计算I(1)，得到最终答案。
下图蓝色积分的计算放在后面的图片里面。
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计算上图的蓝色积分。
红色式子是分部积分之后出来的，红色式子的计算看下图的后半部分。
下图的蓝色积分的计算过程请看63楼。
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几个常见的积分。
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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下图的第一行是巴塞尔问题，请去看63楼。
(4)是偶函数，所以积分值是(3)的两倍。
(3)的第一个等号是分子分母同时乘以e^(-2x)，第二个等号是分子分母同时乘以e^x
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计算(1)
下图蓝色积分的计算过程，请去看63楼。
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计算(2)
下图蓝色积分的计算过程，请去看63楼。
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计算(3)和(4)
凑微分，然后分部积分，转为(2)
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上面是使用换元法，转为63楼的积分。下面开始用其他的解法。
使用分部积分进行计算。
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幂级数展开，交换积分符号和累加符号。
下图和下下图的过程类似，下下图的过程更详细一些。
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幂级数展开，交换积分符号和累加符号。
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竞赛题。
书本解法，我的解法在后面。
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在0到b的闭区间上，|f(x)|连续，所以必有最值。设最值在 x=c 处取到。
拉格朗日中值定理。
不等式放缩。
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用数学归纳法证明。
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题目
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用含参积分求导公式。
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含参积分求导公式。
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先用46楼的理论，把二重积分转为曲面积分。
再利用47楼的理论，把曲面积分转为定积分。
然后把定积分计算出来。
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