回复：难题记录贴

换元法，转为有理函数积分。
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组合积分法。
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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p是常数。
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我对不对？谢谢唉。。
最后一题

一个很常见的积分。
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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(1)的过程在后面。
这里先证明(2)，用换元法将(2)转化为(1)。
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转为二重积分，交换积分次序
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拉普拉斯积分
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积分的收敛性，积分的一致收敛性，证明过程这里省略。
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含参积分求导。
蓝色的积分计算看上个楼层100楼。
求两次导。
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转为二阶常系数齐次线性微分方程。
注意：这里 b 是自变量，a 是常数。
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题目
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积分的收敛性，证明过程省略。
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解法1：
二重积分换元法。
这个解法的角度取值范围，我看得也不是太明白了。
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解法2：
直角坐标，转为极限求值。后面我会对下图的解法，进行更详细的分解。
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直角坐标，先积y，后积x。
凑微分，求出 dy 的结果。
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将积分转为极限。
换元法。
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下图蓝色是积分第一中值定理。因为 1/xlnx 的积分在0到1上不变号。
h(x) 在 x=1 左侧极限是arctan(正无穷大)
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解法3：
两次换元法，转为傅汝兰尼积分。
傅汝兰尼积分的证明过程在48楼有。
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转载一个题目和解法
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两个题目
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第一个题目，三角换元。
这里不需要计算出具体的积分值，就可以求出比值。
具体的积分值可以用beta函数进行表示，在后面有计算过程。
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第1个题目的积分值可以用beta函数来进行表示。
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第二个题目，反正切公式。
反正切公式在后面会附上图。
拆开级数，或者说拆开极限。
裂项相消，取前n项部分和Sn的极限。
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第二个题目，另一种反正切公式。
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拆开级数，或者说拆开极限。
裂项相消，取前n项部分和Sn的极限。
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附上反正切的公式。
主要用的公式7和公式6
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n是自然数，将函数极限转为数列极限。
蓝色的极限，在后面有证明过程。
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上图蓝色极限的证明过程。
中间用到 stolz 定理。
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题目
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下图
第二行，中括号是取整函数，向下取整。
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极限无穷大和非零有限极限的乘积，仍然是无穷大。
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题目
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分部积分。
把反常积分转为定积分。
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分区间计算。
被积函数在积分区间上，显然是非负函数。
夹逼准则，左边取零。
取积分下限对被积函数进行放缩。
ε 是任意小的正数。
当 |q| < 1时，q^n 的极限是零。
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