回复：难题记录贴

您这些较严谨，其实积分竞赛由于难度略大，严谨度变得低了

等把知识忘得差不多了 再好好看看这些帖子

在闭区间a到b上，
f(x)是连续非负不恒等于零的函数。
g(x)是连续恒正函数。
f(x)最大值记为M，则M大于零。
后面的证明过程中，因为连续，所以必定存在c取到最大值f(c)=M，但因为c可能取到区间端点a或b，所以可能只是单侧连续，所以写的是单侧极限，也就是单侧邻域。
夹逼准则。
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数学分析书的课本例题。
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也可以写成ln(1+ax)然后对a用含参变量积分求导。
含参变量积分的解法，才是常规解法。
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第一图最后一行比值转根值，证明见后面的图。
用到上极限和下极限。
根值的极限利用22楼的结论。
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一个表情包。答案是666。
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第一个，计算积分。
第二个，x在nπ和(n+1)π放缩。
第三个，提取1/x，转为定积分定义。
第四个，多重对数，等价替换。
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这个是竞赛题。
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需要有一定的高等数学的基础。
下面会补图，将省略的步骤都写出来，所以如果看不懂过程，可以结合下面的详细步骤来阅读。
这个题目的结论，在很多求极限的竞赛题中，均会涉及到。
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第一个等号的详细过程。
对积分区间划分子区间，拆开写为累加号。
h与k无关，所以可以移到累加号内部。
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第二个等号，将第二项移到积分符号内部的详细过程。
将xk-x(k-1)改写为被积函数为1的积分。
f(xk)是个常数，所以可以移到积分符号内部。
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凑微分求积分，代入上下限，再将h代入。
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这个极限式子刚好满足定积分定义。Δx趋向0。
所以这个极限就是f'(x)从a到b的定积分。
定积分的定义，有不明白的可以去看高等数学的教材。
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第一图的第三个等号，引入了分母x-xk，同时引入无意义的点。
虽然引入无意义的点，但是他不是反常积分，仍然是定积分，只是多了一个第一类间断点。
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也可以换下面这张图的做法。
借用一下积分第一中值定理的推导过程。
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下面只给第一行c到d对x-d的积分不为零的情况。因为等于零时，显然是存在η的。
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先用拉格朗日中值定理，得到的 ξ 是x的函数，ξ对于积分dx来说并不是一个确定的常数。
所以要写为ξ(x)
连续函数在闭区间取到最大值M和最小值m。
然后对被积函数进行放缩。
最后利用连续函数的介值定理。证明存在η，使得等式成立。
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定积分第一中值定理。
定积分第一中值定理的推广形式。注意红线是开区间。
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正项级数，不是正向级数。
第(2)小题是 极限小于零，且级数bn发散，证明级数an发散。
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转载一个解法。
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有一点小问题，应该是f(c)的绝对值等于M，不过影响不大。
第一图最后一行分子的M改为f(c)。
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书本答案，更详细解释看后面。红线的a等于应该是a平方等于。
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含参变量积分求导公式。
非数学系考研不作要求，但竞赛题可能会用到。
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柱坐标。
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含参变量积分求导公式。
上限代入乘以上限求导，减去下限代入乘以下限求导，然后加上下限不变内层函数求偏导数。
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不等式放缩，夹逼准则。
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