回复：难题记录贴

一个表情包。答案是666。
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第一个，计算积分。
第二个，x在nπ和(n+1)π放缩。
第三个，提取1/x，转为定积分定义。
第四个，多重对数，等价替换。
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这个是竞赛题。
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需要有一定的高等数学的基础。
下面会补图，将省略的步骤都写出来，所以如果看不懂过程，可以结合下面的详细步骤来阅读。
这个题目的结论，在很多求极限的竞赛题中，均会涉及到。
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第一个等号的详细过程。
对积分区间划分子区间，拆开写为累加号。
h与k无关，所以可以移到累加号内部。
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第二个等号，将第二项移到积分符号内部的详细过程。
将xk-x(k-1)改写为被积函数为1的积分。
f(xk)是个常数，所以可以移到积分符号内部。
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凑微分求积分，代入上下限，再将h代入。
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这个极限式子刚好满足定积分定义。Δx趋向0。
所以这个极限就是f'(x)从a到b的定积分。
定积分的定义，有不明白的可以去看高等数学的教材。
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第一图的第三个等号，引入了分母x-xk，同时引入无意义的点。
虽然引入无意义的点，但是他不是反常积分，仍然是定积分，只是多了一个第一类间断点。
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也可以换下面这张图的做法。
借用一下积分第一中值定理的推导过程。
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下面只给第一行c到d对x-d的积分不为零的情况。因为等于零时，显然是存在η的。
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先用拉格朗日中值定理，得到的 ξ 是x的函数，ξ对于积分dx来说并不是一个确定的常数。
所以要写为ξ(x)
连续函数在闭区间取到最大值M和最小值m。
然后对被积函数进行放缩。
最后利用连续函数的介值定理。证明存在η，使得等式成立。
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定积分第一中值定理。
定积分第一中值定理的推广形式。注意红线是开区间。
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正项级数，不是正向级数。
第(2)小题是 极限小于零，且级数bn发散，证明级数an发散。
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转载一个解法。
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有一点小问题，应该是f(c)的绝对值等于M，不过影响不大。
第一图最后一行分子的M改为f(c)。
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书本答案，更详细解释看后面。红线的a等于应该是a平方等于。
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含参变量积分求导公式。
非数学系考研不作要求，但竞赛题可能会用到。
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柱坐标。
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含参变量积分求导公式。
上限代入乘以上限求导，减去下限代入乘以下限求导，然后加上下限不变内层函数求偏导数。
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不等式放缩，夹逼准则。
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最后一行，用一下28楼的结论。
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此题可以推广。
2011和2010可以变，被积函数可以变。
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stolz定理。等价无穷小。
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积分放缩。夹逼准则。
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竞赛题改编。 @神马都浮云2
这题有一些难度。
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第一问还是很简单的。
f(x) 在 x >= 0 上连续，在 x > 0 上可导。
计算 f(0) 和 f(r)，零点定理得到在 0 到 r 上有根。
求导得 f(x) 严格单调递增。
所以 在 x >= 0 上，有且只有一个根。
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xn 是 fn(x) = 0 的根。
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r = 1是最难的部分，这里先讲 r = 1 。
单调递减有下界。
单调有界原理，数列极限存在。
假设极限为A，则极限A大于等于零。
假设极限A大于零，得到A等于零矛盾，所以极限A只能等于零。
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当 r > 0 且 r 不等于 1 时，分情况使用夹逼准则，可以得到 xn 的极限。
单调有界原理的证明过程，见后面的图。
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当 r > 1 时，通项极限不是零，所以级数发散。
当 0 < r <= 1时，级数敛散性后面会讨论。
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0 < r < 1 时，单调递减有下界。
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1 < r < 2 时，单调递减有下界。
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r > 2 时，单调递增有上界。
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当 r = 1 时，级数发散。
正项级数，比较判别法的极限形式，ln 等价无穷小。
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当 0 < r < 1 时，
正项级数，比较判别法。
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因为级数不变号，所以可以看成正项级数，使用比较判别法的极限形式。
使用 ln 等价无穷小。
和 1/n * ln (xn) 同敛散。
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一个数列极限的题目。
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泰勒公式，带拉格朗日余项。
先写出n+1阶的拉格朗日余项。
最后一行改为n+2阶的拉格朗日余项，后面会用到n+2阶的拉格朗日余项。
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泰勒展开。
将前面的项记为An，显然n!乘以An是整数，再乘以2π，在sin里面用诱导公式消去2π的整数倍。
sin内部是无穷小，等价无穷小，拿掉sin
然后后一项是e^(θn)是有界量，n/(n+1)(n+2)是无穷小量，所以极限是2π
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将sin内部的2拿掉，则过程类似，但是有一点区别。
将An前面的项，含有蓝式因子的单独拿出来。
蓝色式子，可以转为红色因子。因为n是整数，所以n(n+1)肯定是偶数。
然后用诱导公式，剩下的解法和上个图一样。
最终答案是极限不存在，因为多了一个(-1)^(n+1)，奇偶项极限不一样。
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转载一个题目和解法
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解法
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含参积分。
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这里省略了积分的一致收敛性证明，积分的收敛性证明。
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