其实生活中也存在极限的例子。比如著名的芝诺悖论：
一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。 假设此人速度不变，走一段的时间每次除以2，时间为实际需要时间的1/2+1/4+1/8+......，则时间限制在实际需要时间以内，即此人可以与目的地距离为无限小，却到不了。可事实上呢？难道你从家里走路到学校还永远走不到因为你跟学校之间永远差一个无穷小量吗？然后你发现走不到学校的时候就走回家然后继续发现从家里出来后你就再也走不回去了？事实是这样吗？
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！可事实呢？
我们看过很多跑步比赛，选手A超越选手B是很常见的事情。如果说两人之间的距离始终差一个无穷小量所以肯定无法追上，那如何解释被超越的现象？
其实这两个问题用文字描述就是：等比数列的无穷项和等于一个常数。这个是可以很轻易证明的。当然有些人可以死扣说怎么可能呢等比数列每一项都比前一项小，求和怎么能求出个常数来？怎么算都跟常数差个不等于0的无穷小量啊？那很好，如果你支持这个观点，那就等同于你认为你永远走不到目的地，或者阿基里斯永远追不上乌龟。
其实写到这里我突然间想起第三种方法证明0.99...=1，第一种是用无穷级数，第二种是用构造数列求极限。而第三种就是等比数列无穷多项求和。可令a1=0.9,a2=0.09,a3 =0.009...显然这是个等比数列，公比q=0.1，然后求无穷多项和。如果“等比数列的无穷项和等于一个常数”这个定理是对的，那我甚至不用再做别的证明就能得到0.99...的值肯定等于一常数（其实0.99...也是一个常数，但我前一个所说的一常数的表示形式指的是不是一个无穷逼近的量）当然如果要求出这个常数是多少，那很简单，写出等比数列的n项和公式，然后令n趋近于正无穷就好了。

因为3乘以三分之一等于1，而三分之一等于0.3333333.。。，所以1等于0.999999.。。

这几天刚学了新词：日经贴、月经贴，本楼帖应属此类。

芝诺悖论和“日取其半，终而不竭”有什么不同？

有什么意义

想解决这个问题的人很多，但是绝大部分都没有首先提出无限循环小数的定义，而是接受了先入为主的概念，并以之为显然的。

三分之一加三分之二不就证明了吗

其实你们不觉的么，如果0.9999……等于1，那么1就等于1.00……001，以此类推，所以实数都是相等的，这就是为什么大家都觉得0.999……等于1难以接受。

极限思维

直接问他 (1+0.999...)/2 等于几得了

这个不懂的都该拖去补数学，真心不知道有啥讨论的……

你看这贴都混进一高数盲了……

这绝对远超10N水能浮起多重的木头的问题了……

你在别人面前跑步，别人就断定你根本就不会走路，你会怎样想呢？