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主张0.9……不存在似有道理,但不足以否定0.9……=1的共识

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有网友主张“循环9不存在”,并据此一口咬定说现有0.9……=1的共识是错误的。
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如帖子《0.9……本来就不存在,你们这帮人听不懂人话吗?》【民科吧】_百度贴吧 https://tieba.baidu.com/p/9199611571,作者@将队友护至身后 (曾用另一网名为“豪也”。)
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其实,主张“循环9不存在”者,似有一定道理,但这个道理不足以用来否定现有的0.9……=1的共识。
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我说它似有道理,是因为小学算术刚引入循环小数时,就没有“循环9”。
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无限循环小数的最初引入,是在笔算除法除不尽的时候。此时,按照小学笔算除法习惯规则:余数<除数,不会得出“循环9”。
如果仅把这种方式产生的循环小数作为其定义,那就不会有0.999……这样的形式出现,
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然而,你要发明没有“循环9”的体系,必须满足以下必要条件:
一、你的体系里必须能“自圆其说”,不能自相矛盾,或与体系中其他部分矛盾。
二、应满足实用的需要。
违背第一条,就不可能成立;违背第二条,就不可能被人们接受。
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但是,如果我们规定“循环9”不合法,那么原先习惯的四则笔算规则就缺少了形式上的完备性,如:
0.4545…… + 0.5454……,
0.33……× 3,
按原先规则就不能合法地直接计算(结果“非法”了)。
也就是说:体系不能自圆其说了。
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若要避免这种矛盾,除非
对四则运算规则作改动,添加许多特殊规定,以保证任何情况下都不会得出“循环9”这种“非法的表示形式”。

0.4545…… + 0.5454……不允许得0.999……,必须直接得1;
2.43333…… + 0.06666……不允许得2.49999……,必须直接得2.5;
0.3333…… × 3 不允许得0.9999……,必须直接得1;
……;
等等。
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然而,设计怎样的 “特殊规定”才能有此效果?
要说绝对无法设计出来,倒也未必,但是,无论怎样设计,
都不如:
干脆允许得“循环9”,并确定0.999……=1, 2.4999……=2.5,……,等等,
来得更简单、实用!
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所谓“循环小数”只是一种表达形式的规则。规则本来就是人发明的,发明者自然可以有自已的的主张。
但是,你别出心裁设计的“循环9不存在”的体系,不能满足既不自相矛盾,又简单实用的要求,又如何能当否定别人原有规则的理由呢?
(待续)


IP属地:陕西1楼2024-10-06 22:38回复
    (续)
    在进一步说明之前,先回答@将队友护至身后 兄在几个贴子里,为指0.9……=1错误,而提出的几个所谓理由。
    .
    (1)他称:因为“没有任何两个整数相除能计算出0.9……”,所以0.9……是无理数。
    .
    这话显然错误:有理数的定义就是分数,即等于两个整数的比,只要等于即可,并没有规定必须按照某个特定的笔算规则直接“除”出来才算有理数。
    .
    虽按小学笔算“习惯规则”不能直接“除”出0.9……来,但是,简单证明它等于两个整数之比的方法还有很多。例如
    .
    证明它等于9与9之比:
    9 ÷ 9 = (5+4)÷9 = 5/9 + 4/9 = 0.5…… + 0.4…… = 0.9……;
    证明它等于3与3之比:
    3 ÷ 3 = (2+1)÷3 = 2/3 + 1/3 = 0.6…… + 0.3…… = 0.9……;
    等等。
    .
    (2)网上有一种用竖式除法的例子:1除以1,第一步商0,后续除得0.9……。@将队友护至身后 兄宣称:这个例子是“小学生都不会犯的低级错误”。
    .
    他这话也错。
    这种除法例子只是违反了小学笔算的“习惯规则”,仅仅是将竖式除法中“余数<除数”的规则,放宽为“余数≤除数”了,
    但这并不错误。
    因为现有体系中,循环小数的概念是按极限理论来定义的,并不是按小学算术的“习惯规则”来定义的。
    把小学笔算除法中“余数<除数”的规则,放宽为“余数≤除数”,按极限理论构造出循环小数,并不错误。
    下面我们会进一步解释(见4楼)。
    .
    更何况@将队友护至身后 兄指人家错,并不是指出人家将“<”放宽为“≤”了,而是硬说人家是“想商什么就商什么”,自己另举了一个“想商什么就商什么”的错误例子来“作证”,这显然就更不讲理了。
    (待续)


    IP属地:陕西2楼2024-10-06 22:48
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      2025-08-01 02:23:15
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      (续)
      现有体系中,循环小数的概念是按极限理论来定义的,
      但是,小学引入的按笔算除法规则来定义循环小数,除产生不了“循环9”以外,也完全符合按极限理论的定义。
      小学数学中,作除法生成循环小数过程中的“近似值”、“误差”、“准确值”等概念之间的逻辑关系,与极限理论中各因素之间的关系完全一致。
      .
      不妨注意一下“除不尽”时候的下述现象:
      除到某一位就截断作近似值,会有误差,此误差小于该位的1个单位(如0.001)。保留的位数越多,误差越小。不管误差限定多么小,总能确定一个位,只要计算保留到这一位,误差就小于该误差限。
      .
      我们再看看,极限理论中“序列极限ε-Μ模式” 的叙述:
      .
      对于一个无穷序列{x(1),x(2),x(3),……}, 如果存在实数A, 能满足:对于任意指定的正数ε, 都存在一个数Μ,使得只要n>Μ, |A - x(n) | <ε就一定成立, 则称该无穷序列的极限是A。
      .
      对照这个叙述不难看出,只要将我们的“误差限”记作ε,将位数记作Μ,将各近似值看成一个无穷序列,岂不就是说:商的准确值,就是“除不尽”时近似值序列的极限A吗?
      .
      也就是说,小学算术中已经建立的这些概念,天然就满足高等数学的序列极限的定义了。
      或者也可以说,极限理论的基础思想,在初等数学中已经出现并实际用到过了,高等数学中只不过把它用严格的措辞整理了一遍而已。
      (待续)


      IP属地:陕西3楼2024-10-06 22:54
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        (续)
        再解释一下上面说的笔算除法“余数<除数”的规则,放宽为“余数≤除数”的问题。
        .
        凡学过极限理论的应该不难理解,在“ε-δ”、“ε-Μ”形式叙述中,把“<ε”换成“≤ε”,其逻辑关系依然正确。
        即:极限的定义可有两种措辞,一种里面是“<ε”,另一种是“≤ε”,两种措辞完全等效。
        也就是说:一个变量x(n)的极限是不是A,如果按措辞一的定义认为“是”,那么按措辞二的定义也一定认为“是”;如果按措辞一的定义认为“不是”,那么按措辞二的定义也一定认为“不是”。
        .
        从上面的叙述可以看出,近似值的“误差限”,就相当于极限理论中的ε。而笔算除法每一步的余数,就决定了该步若作为近似值会有的误差。
        .
        所以,把 “余数<除数”放宽为“余数≤除数”,正确性当然没有问题。
        (待续)


        IP属地:陕西4楼2024-10-06 22:57
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          (续)
          综上所述,按笔算除法“习惯规则”来定义的循环小数,与现在按极限理论来定义的循环小数,二者唯一的差别,就是前者不会产生“循环9”。
          .
          而如果我们把除法规则扩充一下,即:把 “余数<除数”放宽为“余数≤除数”,
          这就完全一致了。
          .
          这样扩充以后,每一个原来的整数或有限小数,都具有两种表达形式。
          如:
          42,也可以表示成41.999……;
          0.32,也可以表示,0.31999……。
          下图,是按照扩充后的规则作除法的一个例子。

          .
          这样扩充后,虽没有什么实用的意义,但有理论意义,可供研究参考。
          上面2楼的(2)中所说网上流传的1除以1得0.9……的例子,
          也就是采用了这个扩充规则。


          IP属地:陕西5楼2024-10-06 23:09
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            本楼为尽量缩短篇幅,叙述文字较粗。
            .
            此前我曾发过另一个帖子:
            从“小学生的方式证明0.999……=1”说起【民科吧】_百度贴吧 https://tieba.baidu.com/p/8898666554
            篇幅较长些,其中涵盖了本帖的主要内容,
            .
            如有必要,欢迎各网友到该楼里赐教。


            IP属地:陕西6楼2024-10-06 23:23
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              余不为0!
              看不明白?
              听不懂?
              装傻?

              真傻啊、



              IP属地:湖北来自Android客户端7楼2024-10-07 07:45
              收起回复
                5楼的附图,不明原因发出来变小了看不清楚。
                现重发一次试试,见下。

                这个图,就是5楼所说的“下图,是按照扩充后的规则作除法的一个例子。”


                IP属地:陕西8楼2024-10-07 11:40
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                  2025-08-01 02:17:15
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                  咱们的教育真是害人
                  你这小子肯定认为
                  小学中学,1÷1=1
                  上到大学,1÷1=0.9……
                  不是复杂就叫正确。
                  数学是从一个个简单的结论,逐步发展丰富的。
                  1÷1只能等于1,让院士,让进教授来算,他们都会写1,而不是0.9……。


                  IP属地:广东来自Android客户端9楼2024-10-10 12:25
                  回复
                    本来0.3……×3=1,正因为出现了0.9……=1,于是有0.3……×3=0.9……,然后觉得0.9……是0.3……的3倍。
                    直接认为0.9……=0.3……×3,其实已经开创了一个新的规则


                    IP属地:广东来自Android客户端10楼2024-10-10 12:31
                    回复
                      你可能计算0.5454……+0.4545……吗?
                      不可能,无限循环无法直接计算,不要想当然的从小数点后面算起
                      你要从循环的最后一个数算起,但你根本不可能写出最后一个数
                      你只能先转换成分数,然后再进行计算


                      IP属地:广东来自Android客户端11楼2024-10-10 12:34
                      回复
                        所有的循环小数,在进行计算时,都要先化成分数,然后再计算。
                        不然你怎么写?无限循环的数,***永远写不完。


                        IP属地:广东来自Android客户端12楼2024-10-10 12:35
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                          0.5454……=54/99
                          0.4545……=45/99
                          0.4545……+0.5454……=45/99+54/99=99/99=1
                          直接等于0.99……,你有点想当然了


                          IP属地:广东来自Android客户端13楼2024-10-10 12:38
                          回复
                            如果你觉得无限循环小数可以直接计算
                            那么1.000……000-0.9……999将会等于0.000……001


                            IP属地:广东来自Android客户端14楼2024-10-10 12:42
                            收起回复
                              2025-08-01 02:11:15
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                              @还我血汗钱⚡ 兄:
                              .
                              我把您的说法反复看了多遍,似乎分歧问题只剩下唯一的一个:就是您主张的“无限循环不能直接计算”这一条了。
                              .
                              假如这一条解决了,那么其他分歧一律可以迎刃而解。
                              .
                              例如,只要您承认了可以直接计算,那么,
                              您也就没有理由不认可我2楼对于0.9……=9/9,以及0.9……=3/3,……的证明了,
                              也就没有理由坚持说“0.9……不可能等于一个分数”了,
                              也就不会坚持说0.9……不是有理数了,
                              ……等等。
                              .
                              至于2楼的(2),您所谓的“第一步商0”的“小学生都不会犯的低级错误”的问题,
                              我在3、4、5楼解释得够详细了吧,您至今没有对3、4、5楼提出质疑。
                              .
                              果真只剩下这一个分歧,那么下面就集中这一个来讨论如何?
                              (待续)


                              IP属地:陕西15楼2024-10-11 11:28
                              收起回复