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主张0.9……不存在似有道理,但不足以否定0.9……=1的共识

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有网友主张“循环9不存在”,并据此一口咬定说现有0.9……=1的共识是错误的。
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如帖子《0.9……本来就不存在,你们这帮人听不懂人话吗?》【民科吧】_百度贴吧 https://tieba.baidu.com/p/9199611571,作者@将队友护至身后 (曾用另一网名为“豪也”。)
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其实,主张“循环9不存在”者,似有一定道理,但这个道理不足以用来否定现有的0.9……=1的共识。
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我说它似有道理,是因为小学算术刚引入循环小数时,就没有“循环9”。
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无限循环小数的最初引入,是在笔算除法除不尽的时候。此时,按照小学笔算除法习惯规则:余数<除数,不会得出“循环9”。
如果仅把这种方式产生的循环小数作为其定义,那就不会有0.999……这样的形式出现,
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然而,你要发明没有“循环9”的体系,必须满足以下必要条件:
一、你的体系里必须能“自圆其说”,不能自相矛盾,或与体系中其他部分矛盾。
二、应满足实用的需要。
违背第一条,就不可能成立;违背第二条,就不可能被人们接受。
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但是,如果我们规定“循环9”不合法,那么原先习惯的四则笔算规则就缺少了形式上的完备性,如:
0.4545…… + 0.5454……,
0.33……× 3,
按原先规则就不能合法地直接计算(结果“非法”了)。
也就是说:体系不能自圆其说了。
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若要避免这种矛盾,除非
对四则运算规则作改动,添加许多特殊规定,以保证任何情况下都不会得出“循环9”这种“非法的表示形式”。

0.4545…… + 0.5454……不允许得0.999……,必须直接得1;
2.43333…… + 0.06666……不允许得2.49999……,必须直接得2.5;
0.3333…… × 3 不允许得0.9999……,必须直接得1;
……;
等等。
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然而,设计怎样的 “特殊规定”才能有此效果?
要说绝对无法设计出来,倒也未必,但是,无论怎样设计,
都不如:
干脆允许得“循环9”,并确定0.999……=1, 2.4999……=2.5,……,等等,
来得更简单、实用!
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所谓“循环小数”只是一种表达形式的规则。规则本来就是人发明的,发明者自然可以有自已的的主张。
但是,你别出心裁设计的“循环9不存在”的体系,不能满足既不自相矛盾,又简单实用的要求,又如何能当否定别人原有规则的理由呢?
(待续)


IP属地:陕西1楼2024-10-06 22:38回复
    (续)
    在进一步说明之前,先回答@将队友护至身后 兄在几个贴子里,为指0.9……=1错误,而提出的几个所谓理由。
    .
    (1)他称:因为“没有任何两个整数相除能计算出0.9……”,所以0.9……是无理数。
    .
    这话显然错误:有理数的定义就是分数,即等于两个整数的比,只要等于即可,并没有规定必须按照某个特定的笔算规则直接“除”出来才算有理数。
    .
    虽按小学笔算“习惯规则”不能直接“除”出0.9……来,但是,简单证明它等于两个整数之比的方法还有很多。例如
    .
    证明它等于9与9之比:
    9 ÷ 9 = (5+4)÷9 = 5/9 + 4/9 = 0.5…… + 0.4…… = 0.9……;
    证明它等于3与3之比:
    3 ÷ 3 = (2+1)÷3 = 2/3 + 1/3 = 0.6…… + 0.3…… = 0.9……;
    等等。
    .
    (2)网上有一种用竖式除法的例子:1除以1,第一步商0,后续除得0.9……。@将队友护至身后 兄宣称:这个例子是“小学生都不会犯的低级错误”。
    .
    他这话也错。
    这种除法例子只是违反了小学笔算的“习惯规则”,仅仅是将竖式除法中“余数<除数”的规则,放宽为“余数≤除数”了,
    但这并不错误。
    因为现有体系中,循环小数的概念是按极限理论来定义的,并不是按小学算术的“习惯规则”来定义的。
    把小学笔算除法中“余数<除数”的规则,放宽为“余数≤除数”,按极限理论构造出循环小数,并不错误。
    下面我们会进一步解释(见4楼)。
    .
    更何况@将队友护至身后 兄指人家错,并不是指出人家将“<”放宽为“≤”了,而是硬说人家是“想商什么就商什么”,自己另举了一个“想商什么就商什么”的错误例子来“作证”,这显然就更不讲理了。
    (待续)


    IP属地:陕西2楼2024-10-06 22:48
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      2025-08-01 23:36:21
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      (续)
      现有体系中,循环小数的概念是按极限理论来定义的,
      但是,小学引入的按笔算除法规则来定义循环小数,除产生不了“循环9”以外,也完全符合按极限理论的定义。
      小学数学中,作除法生成循环小数过程中的“近似值”、“误差”、“准确值”等概念之间的逻辑关系,与极限理论中各因素之间的关系完全一致。
      .
      不妨注意一下“除不尽”时候的下述现象:
      除到某一位就截断作近似值,会有误差,此误差小于该位的1个单位(如0.001)。保留的位数越多,误差越小。不管误差限定多么小,总能确定一个位,只要计算保留到这一位,误差就小于该误差限。
      .
      我们再看看,极限理论中“序列极限ε-Μ模式” 的叙述:
      .
      对于一个无穷序列{x(1),x(2),x(3),……}, 如果存在实数A, 能满足:对于任意指定的正数ε, 都存在一个数Μ,使得只要n>Μ, |A - x(n) | <ε就一定成立, 则称该无穷序列的极限是A。
      .
      对照这个叙述不难看出,只要将我们的“误差限”记作ε,将位数记作Μ,将各近似值看成一个无穷序列,岂不就是说:商的准确值,就是“除不尽”时近似值序列的极限A吗?
      .
      也就是说,小学算术中已经建立的这些概念,天然就满足高等数学的序列极限的定义了。
      或者也可以说,极限理论的基础思想,在初等数学中已经出现并实际用到过了,高等数学中只不过把它用严格的措辞整理了一遍而已。
      (待续)


      IP属地:陕西3楼2024-10-06 22:54
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        (续)
        再解释一下上面说的笔算除法“余数<除数”的规则,放宽为“余数≤除数”的问题。
        .
        凡学过极限理论的应该不难理解,在“ε-δ”、“ε-Μ”形式叙述中,把“<ε”换成“≤ε”,其逻辑关系依然正确。
        即:极限的定义可有两种措辞,一种里面是“<ε”,另一种是“≤ε”,两种措辞完全等效。
        也就是说:一个变量x(n)的极限是不是A,如果按措辞一的定义认为“是”,那么按措辞二的定义也一定认为“是”;如果按措辞一的定义认为“不是”,那么按措辞二的定义也一定认为“不是”。
        .
        从上面的叙述可以看出,近似值的“误差限”,就相当于极限理论中的ε。而笔算除法每一步的余数,就决定了该步若作为近似值会有的误差。
        .
        所以,把 “余数<除数”放宽为“余数≤除数”,正确性当然没有问题。
        (待续)


        IP属地:陕西4楼2024-10-06 22:57
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          (续)
          综上所述,按笔算除法“习惯规则”来定义的循环小数,与现在按极限理论来定义的循环小数,二者唯一的差别,就是前者不会产生“循环9”。
          .
          而如果我们把除法规则扩充一下,即:把 “余数<除数”放宽为“余数≤除数”,
          这就完全一致了。
          .
          这样扩充以后,每一个原来的整数或有限小数,都具有两种表达形式。
          如:
          42,也可以表示成41.999……;
          0.32,也可以表示,0.31999……。
          下图,是按照扩充后的规则作除法的一个例子。

          .
          这样扩充后,虽没有什么实用的意义,但有理论意义,可供研究参考。
          上面2楼的(2)中所说网上流传的1除以1得0.9……的例子,
          也就是采用了这个扩充规则。


          IP属地:陕西5楼2024-10-06 23:09
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            本楼为尽量缩短篇幅,叙述文字较粗。
            .
            此前我曾发过另一个帖子:
            从“小学生的方式证明0.999……=1”说起【民科吧】_百度贴吧 https://tieba.baidu.com/p/8898666554
            篇幅较长些,其中涵盖了本帖的主要内容,
            .
            如有必要,欢迎各网友到该楼里赐教。


            IP属地:陕西6楼2024-10-06 23:23
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              5楼的附图,不明原因发出来变小了看不清楚。
              现重发一次试试,见下。

              这个图,就是5楼所说的“下图,是按照扩充后的规则作除法的一个例子。”


              IP属地:陕西8楼2024-10-07 11:40
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                @还我血汗钱⚡ 兄:
                .
                我把您的说法反复看了多遍,似乎分歧问题只剩下唯一的一个:就是您主张的“无限循环不能直接计算”这一条了。
                .
                假如这一条解决了,那么其他分歧一律可以迎刃而解。
                .
                例如,只要您承认了可以直接计算,那么,
                您也就没有理由不认可我2楼对于0.9……=9/9,以及0.9……=3/3,……的证明了,
                也就没有理由坚持说“0.9……不可能等于一个分数”了,
                也就不会坚持说0.9……不是有理数了,
                ……等等。
                .
                至于2楼的(2),您所谓的“第一步商0”的“小学生都不会犯的低级错误”的问题,
                我在3、4、5楼解释得够详细了吧,您至今没有对3、4、5楼提出质疑。
                .
                果真只剩下这一个分歧,那么下面就集中这一个来讨论如何?
                (待续)


                IP属地:陕西15楼2024-10-11 11:28
                收起回复
                  2025-08-01 23:30:21
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                  对于简单四则计算的笔算规则的正确性,
                  教材上向来都是不加证明直接使用。
                  为什么可以如此?因为道理太浅显了,大家都能懂。如果硬要写出完整证明,必然是篇幅极长,却道理极浅,有什么意义。
                  .
                  然而您却就卡在不承认这一点上?
                  那么,我曾说过:
                  大不了自己从头编写出一套证明,也不太难。
                  .
                  虽然我现在时间困难,写出一个篇幅极长的完整证明眼下没有时间,
                  但是我想了,
                  可以先写出一个简化的、不完整的证明,虽不能通用,
                  但足够用来证明我们讨论中用过的所有实例,
                  如何?(不过,也需要稍缓一点时间)
                  .
                  其实这种简化的证明的思想,我在前面的文中,已经提到过数次了,
                  您如果看了,自己也应该会想到的。


                  IP属地:陕西16楼2024-10-11 11:38
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                    楼上的@ tarbon 兄:
                    不要把潜无穷理解成诡辩的含义。
                    .
                    潜无穷所描绘的“过程”,是指由变量演绎出其极限的过程,
                    或称变量“逼近”其极限的过程,
                    并非是说“极限”本身就是这个过程。
                    .
                    拿一个非数学的例子作比:
                    说一个人走千万里路去北京,
                    这里的“过程”,是指“千万里路”,而不是指“北京”。
                    这里的“变量”,是指这个“人”,更不是指“北京”。
                    .
                    一个变量逼近其极限,极限本身并非变量,而是常量!
                    .
                    偷换概念,把“变量”,偷换成了“变量的极限”,
                    把“某变量无限接近于(但不等于)1”,说成“某变量的极限无限接近于(但不等于) 1”,这就荒唐了——
                    .
                    该变量的极限本来就是1,这样说,岂不成了“1无限接近于(但不等于) 1”了么?
                    “1≠1”,不是诡辩是什么?


                    IP属地:陕西24楼2024-10-18 12:55
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                      楼上的@ tarbon 兄:
                      .
                      看到您2024-10-18 12:52的层内回复,您似乎又不承认无限小数值的定义就是有限小数序列的极限了?
                      (看到您说:“没有说这个序列的极限是0.99…的任何数学理论支持。”)
                      .
                      那么请问您:无限小数值的定义究竟是什么?
                      .
                      据我所知,无限小数值的定义,在小学学过(不严格),在高等数学学过后又严格化了一遍。
                      .
                      小学所学:
                      无限小数截取有限位,就是一个近似值。
                      截取越长近似值精度越高,可有无数个不同精度的近似值,但他们都对应同一个唯一的“准确值”。
                      无限小数值的定义,就是这些近似值所对应的“准确值”。
                      .
                      后来我们知道,小学所学的近似值和准确值之间的关系,
                      完全符合极限理论中用ε-Μ语言表述的序列极限的定义。
                      所以,在学过高数以后,就采用有限小数序列的极限作为无限小数值的定义了。
                      .
                      请问兄:您心目中的定义是什么?
                      .


                      IP属地:陕西25楼2024-10-18 13:23
                      收起回复
                        @ tarbon兄:
                        .
                        您所说的(见前面2024-10-18 13:15层内回复):
                        我只听说0.99…可以按进制权位展开为序列0.9,0.09,0.009,…的,第一次看到这种定义0.99…的
                        .
                        那么您的意思是:
                        0.9……的定义是:0.9+0.09+0.009+……
                        是不是?
                        也就是说,他是一个无穷级数:Σ(9*10^-k),(k由1到无穷),是吧?
                        .
                        但您想没想,“无穷级数”的定义是什么?
                        就是“前n项和”的极限(n趋于无穷)!
                        .
                        也就是序列:{0.9,(0.9+0.09),(0.9+0.09+0.009),……}的极限!
                        .
                        也就是:{0.9,0.99,0.999,……}的极限!
                        .
                        .
                        不要忘了:“无穷级数”,就是采用极限来定义的!


                        IP属地:陕西26楼2024-10-18 15:14
                        收起回复
                          @tarbon 兄:
                          .
                          您所谓“[0,1]的区间裂变”,
                          我猜想您的意思是想说:[0,1]的有理数集是“可数”的,故它可以排成一个无穷序列。
                          但是我告诉您:
                          只要它排成了无穷序列,他就不会有“最后一个”。
                          .
                          您已经说了,要无穷无尽的裂变,无穷无尽的标记9,我明白您想说什么。
                          您就是想说,这样可以构造出一个无穷序列:{0.91、0.991、0.9991、0.99991、……},
                          是一个无穷序列,
                          仅此而已;
                          .
                          但是,您这个序列里不可能存在“最后一个”(即您所谓的0.99……91)!
                          如果存在最后一个,那么他就不是“无穷序列”了!
                          .
                          您的“裂变”不存在“最后一步”,怎么可能出来“最后一个标记”?
                          .
                          何为“可数”?就是和自然数集之间存在这一种“一一对应”映射。
                          而自然数中,本就不存在“最后一个”!
                          .
                          您那个“可数”集里面怎么可能存在最后一个?
                          .
                          更何况,您稍微推理一下就会发现:
                          您那个序列{0.91、0.991、0.9991、0.99991、……},
                          和序列{0.92、0.992、0.9992、0.99992、……},
                          以及序列{0.93、0.993、0.9993、0.99993、……},
                          …………
                          和序列{0.9、0.99、0.999、0.9999、……},
                          等等;
                          它们的极限都相同,都等于1!
                          所谓的“最后一位”,是1,还是2,3,到“无穷的时候”,全都没有任何作用了!


                          IP属地:陕西27楼2024-10-18 17:22
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                            @tarbon♤ : 兄:
                            .
                            您似乎对皮亚诺公理不感冒?那么我不用皮亚诺公理,也能证明:有理数集不可能在保留算数大小的次序条件下和自然数集建立一一对应的映射。证明见下。
                            .
                            用反证法:
                            假设有理数集能在保留算数大小的次序条件下和自然数集建立一一对应的映射,
                            写成函数形式n=F(X),必有反函数X=f(n),X是有理数集中的元素,n是自然数集中的元素。
                            保留数大小的次序条件,即
                            只要X1>X2,则一定F(X1)>F(X2); 只要n1>n2,则一定f(n1)>f(n2);
                            因此,设X1=f(6),X2=f(5),
                            则因6>5,故X1>X2。
                            考虑X3=(X1+X2)/2,则X1>X3>X2。
                            则必然存在自然数n3=F(X3),且6>n3>5。
                            但大于5且小于6的自然数不存在。
                            矛盾。
                            故:有理数集不可能在保留算数大小的次序条件下和自然数集建立一一对应的映射。


                            IP属地:陕西28楼2024-10-18 19:05
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                              2025-08-01 23:24:21
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                              @tarbon♤ 兄:
                              .
                              我终于看清楚您说的您构成的所谓“一一映射”了。
                              (我是指您27楼的:2024-10-18 22:12到2024-10-18 22:16层内帖)
                              .
                              您这不是“一一对应的映射”!
                              不过是您的一个同样性质不断重复的错误观念而已。
                              .
                              我们知道,只要能把一个无穷集的所有元素,排成一个无限序列,那么,就等于是已经和自然数之间建立“一一映射”了(因为这个序列中元素的“序号”正好组成全体自然数)。
                              这是对的。
                              .
                              于是您试图排这个“无限序列”了?
                              .
                              但是,您排的不是“无限序列”,
                              而是无穷个“有限序列”:
                              {0,1},
                              {0,0.5,1},
                              {0,0.25,0.5,0.75,1},
                              {0,0.125,0.25,0.375,0.5,0.625,0.75,0.875,1},
                              ………………,
                              ………………。
                              .
                              于是您宣称,这些东西最终就是“无穷序列”了。是吧?
                              .
                              大错特错!
                              .
                              或许您会说:这些有限序列,一个比一个更长,无穷多个这种“有限序列”,到“最后”,
                              就该成“无限序列了吧”。
                              您虽然没有明说这话,但除此,
                              还可能有别的任何“理由”,会让您认为这里有一个“无限序列”吗?
                              .
                              那么我告诉您:“无穷多个”的东西里,是没有“最后一个”的!
                              .
                              具体点说就是:上图中我列出的“无穷多行”里面,是不存在“最后一行”的!
                              .
                              既然您知道:“最后一个只会出现在一个集合的内部关系”,
                              而您的“集合内部”的每一个行,都是“有限序列”,
                              您又如何会宣称最后一行是“无限序列”?
                              .
                              顺便指出,您这样构建下去,并不是遍及[0,1]中的全体有理数,而是遍及了“[0,1]中的全体二进制有限小数”,只是“[0,1]中的全体有理数”的一个真子集。
                              这属于另外一个话题,不说了。
                              (待续)


                              IP属地:陕西29楼2024-10-19 14:50
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