（续）
对于简单四则计算的笔算规则的正确性，
教材上向来都是不加证明直接使用。
为什么可以如此？因为道理太浅显了，大家都能懂。如果硬要写出完整证明，必然是篇幅极长，却道理极浅，有什么意义。
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然而您却就卡在不承认这一点上？
那么，我曾说过：
大不了自己从头编写出一套证明，也不太难。
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虽然我现在时间困难，写出一个篇幅极长的完整证明眼下没有时间，
但是我想了，
可以先写出一个简化的、不完整的证明，虽不能通用，
但足够用来证明我们讨论中用过的所有实例，
如何？（不过，也需要稍缓一点时间）
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其实这种简化的证明的思想，我在前面的文中，已经提到过数次了，
您如果看了，自己也应该会想到的。

先把“=”的定义搞清楚再说吧，说一大堆，依我看，你根本连"="这东西都还没弄明白。

对无限的理解非常浅薄，看到0.99…91就认为这小数部分是有限的，理由就是小数尾部有数字就不可能是无限的，你是凭什么认定有限的？直觉？你想有限就有限？以这种思维，那么在一个坐标平面里画一个圆，那么圆内的点就是有限的，因为这圆有边界啊，无论圆内有多少个点都跑不出这个圆，有限？无限？不是这种直觉是就是的。

再一个例子，坐标轴区间[0，1]，开始0以1结尾，有限还无限？假定以0.1等差取点则有限，假定以有理数取点则无限，又是凭哪条数学理论规定首尾已知的范围一定是有限的？

还是以区间[0，1]的有理数点集来映射0.99…91的数位，首先都是可数范畴，假定十分位的9对应区间的首个有理数0，尾部1对应区间的最后一个有理数1，那么百分位就对应区间内第二个有理数，1前的9对应区间内倒数第二个有理数，这种映射是完全成立的，区间首尾确定中间的有理数可以无限，你又是凭哪一条数学理论确定首尾确定的0.99…91中间的9是有限的？

＝有各种定义，若以极限的范畴来定义"="得到式子0.99…=1确实没错，但是以算术相等的任何时候任何地方的完全替代性来定义"="那么0.99…=1就是错误的。因为0.99…ⁿ就是无限接近0。学过二元函数都是知道0.99…（n个9）的x次方的重极限和累次极限相等并都是0（nx→∞）。

从潜无穷观点来看，无限是一个过程，过程存在一个个运动节点，一个过程等于一个确定那必然用到了数学里的二义性。0.99…就是一个无限，一个过程，1是一个确定的有限，无限的过程等于一个有限的确定必然涉及一个导致“二义性""的定义法则。∞+1=∞，不意会着1=0，因为=的定义是概念同一的意思，而不是思维里那算术等值的意思。

一句话，视觉或直觉里的有限并不一定是有限。

楼上的@ tarbon 兄：
不要把潜无穷理解成诡辩的含义。
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潜无穷所描绘的“过程”，是指由变量演绎出其极限的过程，
或称变量“逼近”其极限的过程，
并非是说“极限”本身就是这个过程。
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拿一个非数学的例子作比：
说一个人走千万里路去北京，
这里的“过程”，是指“千万里路”，而不是指“北京”。
这里的“变量”，是指这个“人”，更不是指“北京”。
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一个变量逼近其极限，极限本身并非变量，而是常量！
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偷换概念，把“变量”，偷换成了“变量的极限”，
把“某变量无限接近于（但不等于）1”，说成“某变量的极限无限接近于（但不等于） 1”，这就荒唐了——
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该变量的极限本来就是1，这样说，岂不成了“1无限接近于（但不等于） 1”了么？
“1≠1”，不是诡辩是什么？

楼上的@ tarbon 兄：
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看到您2024-10-18 12:52的层内回复，您似乎又不承认无限小数值的定义就是有限小数序列的极限了？
（看到您说：“没有说这个序列的极限是0.99…的任何数学理论支持。”）
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那么请问您：无限小数值的定义究竟是什么？
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据我所知，无限小数值的定义，在小学学过（不严格），在高等数学学过后又严格化了一遍。
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小学所学：
无限小数截取有限位，就是一个近似值。
截取越长近似值精度越高，可有无数个不同精度的近似值，但他们都对应同一个唯一的“准确值”。
无限小数值的定义，就是这些近似值所对应的“准确值”。
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后来我们知道，小学所学的近似值和准确值之间的关系，
完全符合极限理论中用ε-Μ语言表述的序列极限的定义。
所以，在学过高数以后，就采用有限小数序列的极限作为无限小数值的定义了。
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请问兄：您心目中的定义是什么？
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@ tarbon兄：
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您所说的（见前面2024-10-18 13:15层内回复）：
我只听说0.99…可以按进制权位展开为序列0.9，0.09，0.009，…的，第一次看到这种定义0.99…的
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那么您的意思是：
0.9……的定义是：0.9+0.09+0.009+……
是不是？
也就是说，他是一个无穷级数：Σ(9*10^-k)，（k由1到无穷），是吧？
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但您想没想，“无穷级数”的定义是什么?
就是“前n项和”的极限（n趋于无穷）！
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也就是序列：{0.9，(0.9+0.09)，(0.9+0.09+0.009)，……}的极限！
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也就是：{0.9，0.99，0.999，……}的极限！
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不要忘了：“无穷级数”，就是采用极限来定义的！

@tarbon 兄：
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您所谓“[0，1]的区间裂变”，
我猜想您的意思是想说：[0，1]的有理数集是“可数”的，故它可以排成一个无穷序列。
但是我告诉您：
只要它排成了无穷序列，他就不会有“最后一个”。
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您已经说了，要无穷无尽的裂变，无穷无尽的标记9，我明白您想说什么。
您就是想说，这样可以构造出一个无穷序列：{0.91、0.991、0.9991、0.99991、……}，
是一个无穷序列，
仅此而已；
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但是，您这个序列里不可能存在“最后一个”（即您所谓的0.99……91）！
如果存在最后一个，那么他就不是“无穷序列”了！
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您的“裂变”不存在“最后一步”，怎么可能出来“最后一个标记”？
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何为“可数”？就是和自然数集之间存在这一种“一一对应”映射。
而自然数中，本就不存在“最后一个”！
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您那个“可数”集里面怎么可能存在最后一个？
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更何况，您稍微推理一下就会发现：
您那个序列{0.91、0.991、0.9991、0.99991、……}，
和序列{0.92、0.992、0.9992、0.99992、……}，
以及序列{0.93、0.993、0.9993、0.99993、……}，
…………
和序列{0.9、0.99、0.999、0.9999、……}，
等等；
它们的极限都相同，都等于1！
所谓的“最后一位”，是1，还是2，3，到“无穷的时候”，全都没有任何作用了！

@tarbon♤ : 兄：
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您似乎对皮亚诺公理不感冒？那么我不用皮亚诺公理，也能证明：有理数集不可能在保留算数大小的次序条件下和自然数集建立一一对应的映射。证明见下。
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用反证法：
假设有理数集能在保留算数大小的次序条件下和自然数集建立一一对应的映射，
写成函数形式n=F(X)，必有反函数X=f(n)，X是有理数集中的元素，n是自然数集中的元素。
保留数大小的次序条件，即
只要X1>X2，则一定F(X1)>F(X2)； 只要n1>n2，则一定f(n1)>f(n2)；
因此，设X1=f(6)，X2=f(5)，
则因6>5，故X1>X2。
考虑X3=(X1+X2)/2，则X1>X3>X2。
则必然存在自然数n3=F(X3)，且6>n3>5。
但大于5且小于6的自然数不存在。
矛盾。
故：有理数集不可能在保留算数大小的次序条件下和自然数集建立一一对应的映射。

@tarbon♤ 兄：
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我终于看清楚您说的您构成的所谓“一一映射”了。
（我是指您27楼的：2024-10-18 22:12到2024-10-18 22:16层内帖）
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您这不是“一一对应的映射”！
不过是您的一个同样性质不断重复的错误观念而已。
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我们知道，只要能把一个无穷集的所有元素，排成一个无限序列，那么，就等于是已经和自然数之间建立“一一映射”了（因为这个序列中元素的“序号”正好组成全体自然数）。
这是对的。
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于是您试图排这个“无限序列”了？
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但是，您排的不是“无限序列”，
而是无穷个“有限序列”：
{0，1｝，
{0，0.5，1｝，
{0，0.25，0.5，0.75，1｝，
{0，0.125，0.25，0.375，0.5，0.625，0.75，0.875，1｝，
………………，
………………。
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于是您宣称，这些东西最终就是“无穷序列”了。是吧？
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大错特错！
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或许您会说：这些有限序列，一个比一个更长，无穷多个这种“有限序列”，到“最后”，
就该成“无限序列了吧”。
您虽然没有明说这话，但除此，
还可能有别的任何“理由”，会让您认为这里有一个“无限序列”吗？
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那么我告诉您：“无穷多个”的东西里，是没有“最后一个”的！
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具体点说就是：上图中我列出的“无穷多行”里面，是不存在“最后一行”的！
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既然您知道：“最后一个只会出现在一个集合的内部关系”，
而您的“集合内部”的每一个行，都是“有限序列”，
您又如何会宣称最后一行是“无限序列”？
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顺便指出，您这样构建下去，并不是遍及[0，1]中的全体有理数，而是遍及了“[0，1]中的全体二进制有限小数”，只是“[0，1]中的全体有理数”的一个真子集。
这属于另外一个话题，不说了。
（待续）

（续）
您不妨试试看，如果您坚持这种错误观念，继续推理下去会达到什么“神奇推论”？
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如果您坚持，那么您认为上面最后的“无穷序列”是什么样子。是下面这样吗？
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{ 0，……，……………………，……，1 }
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这样子还叫“序列”吗？它的元素可能有“序号”吗？
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那么，进一步讨论：
就算是可以存在这么一个东西，你把它叫“无穷序列”，但是
我们构建无穷序列的目的，是要按此与自然数集建立一一映射的。
这个样子能“对应”吗？
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这个东西里，有“最后一项1”，而自然数集里却没有“最后一个自然数”；
如何对应？
自然数里有“第二个数”、“第三个数”，您这个所谓“序列”里“第二项”、“第三项”是几？有“0之后的最近的数、次近的数”吗？
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我在28楼已经给出了一个极其简单明确的证明：有理数集不可能在保留算术大小的次序条件下和自然数集建立一一对应的映射。也就是证明了您这种映射是不可能实现的。
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您既然反对我证明的这个结论，为什么不针对那里的证明做任何有点数学意义的批驳？
您只骂了一句“可笑”，这就算批驳了？
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您举出个不伦不类的例子，就算推翻这个结论了？
（待续）