回复：定积分的应用

感谢！

心脏线绕轴旋转的体积，更详细的解析过程见19楼。
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书本的解答。
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直线的直角坐标方程。
计算两条线和x轴，y轴的交点。
最终的图像如上面的图所示。
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心脏线L1的体积，减去直线L2的体积。
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计算定积分。
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摆线相关题目汇总。
10楼一定要先看懂。
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摆线一拱和 x 轴(y=0)围成的区域。
1. 求该区域的面积，使用定积分的元素法。见10楼。
2. 求该区域对y的二重积分。
3. 求该区域对y²的二重积分。 y平方可以推广为y的n次方。
4. 求该区域绕x轴旋转一周的立体图形的体积。见17楼。
5. 求该区域绕y轴旋转一周的立体图形的体积。见18楼。见22楼。
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摆线一拱的第一类曲线积分。
1. 求该曲线的长度。
2. 求该曲线对y²的第一类曲线积分。y平方可以推广为y的n次方。
3. 求该曲线绕x轴旋转一周的曲面的侧面积。见27楼。
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摆线的一拱，a 大于零。
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摆线的图形。
图里的a=1，只是示例。
注意红线和绿线，对应的摆线方程是不一样的。
基本上，一个y会对应两个x，
一个是红线的x，另一个是绿线的x，
也就是对应2个t，
在使用换元法时，要注意是y在红线还是y在绿线。
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10楼的图，重新放一遍，详细解释请去看10楼的理论。
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二重积分，被积函数是y。
有些辅导书上面，dy 的上限不是f(x)，而是 y。原理一样。
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根据 t，确定 x 的范围，然后确定 y 的范围。
y的上限是摆线L，曲线方程是y=f(x)，y的下方是 x 轴，直线方程是y=0。
因为后面要对 x 进行定积分的换元法计算，所以y=f(x)不需要用显函数把 y 的表达式计算出来，只需要用f(x)这个代号，来表示摆线的曲线方程。
写出X型区域D的范围。
二重积分，转为累次积分。
对x，用 t 进行换元。因为换元必须要换限，代入 x 的上下限，解出 t 的上下限。
f(x)是摆线的方程，用换元法后，f(x)也要换成 t ，刚好就是摆线的参数方程。
dx到dt是基本的微分计算。
整理方程，得到 t 的定积分表达式。
使用二倍角公式化简1-cost。
再换元一次，注意换元必换限。
0到π的sin积分，等于2倍的0到π/2的sin积分，这个也是常用公式。
使用wallis公式，得到答案。
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二重积分，被积函数是y²，解法同上一图。
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摆线一拱的长度。
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摆线一拱的第一类曲线积分。
被积函数是 y²
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定积分在经济学中的应用。
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变速直线运动的路程。
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变力沿直线做功
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第一题
公式在60楼。
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第二题
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第三题
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