回复：定积分的应用

二重积分的对称性和轮换对称性。
三重积分的对称性和轮换对称性。
第一类曲线积分的对称性和轮换对称性。
第二类曲线积分的对称性。(特殊对称性)
第一类曲面积分的对称性和轮换对称性。
第二类曲面积分的对称性。(特殊对称性)
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这个楼层，讲计算过程的对称性。
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用描点法，画出图像。
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这里的对称性，后面会详细进行讲解。
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我们先计算Vx，使用旋转体体积公式。
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使用对称性计算Vy。
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这里的对称性，是指计算过程的对称性。
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也就是将字母a和字母b全部对换，将字母x和字母y全部对换，根据上图的计算过程，可以直接得出结果。
实际上就是将上图式子中的a和b，x和y全部对换，再把计算过程抄一遍，就能出结果。
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这个问题在贴吧，也经常出现。
为什么1/k² <= 1
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易证k>0。
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看下图，如果蓝线和红线的交点横坐标大于1，
那么D2就有两种选择，
一种是绿线左边区域，另一种是绿线右边区域，
有两种选择当然就不满足题意。需要保证题目的唯一性。
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所以蓝线和红线的交点横坐标小于等于1。也就是 1/k² <= 1
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蓝线和红线的交点横坐标小于等于1。
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列出式子。
D1是红线减蓝线。
D2是蓝线减红线。
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画出区域图。
红线是y=sinx
蓝线是x=0
绿线是x=π/2
紫线是y=sint，因为 t 要看成常数，所以是一条直线。当 t 变化时，紫线上下滑动。
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用dx进行计算面积。
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用dy进行计算面积。
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用dy求面积，用dy求旋转体体积。
注意：
1 - lny 是曲线的点到旋转轴 x=1 的距离。
1 - y/e 是曲线的点到旋转轴 x=1 的距离。
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用dx求面积，用dx求旋转体体积。
注意：
1 - x 是曲线的点到旋转轴 x=1 的距离。
求体积时，两个积分式子的上下限是不一样的。
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两个题目，这两个题目也经常出现。
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第一个题目的S(t)，就是第二个题目的答案。虽然两个题目的写法不一样。
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先发书本的过程，我的详细解答在后面。
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先发书本的过程，我的详细解答在后面。
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S(t)的表达式，这里证明一下S(t)是连续函数。
当 t 小于零时，S(t) 恒等于零，显然也是连续的。
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先画出区域图。.

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这里用高中方法进行讨论：
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直线x+y=t，需要分情况讨论。
当直线和正方形OABC不相交时：
a) 如果直线在O点下方或者过O点，则面积为0
b) 如果直线在B点上方或者过B点，则面积为正方形面积，也就是1
当直线和OA和OC相交时，则面积是三角形OEF的面积。
当直线和AB和BC相交时，则面积是正方形面积减去三角形BGH的面积。
当直线过A点和C点时，上面两种算法都可以，答案一样。
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这里用二重积分进行计算。
区域D1 是 区域D 在正方形OABC内部的区域。
因为在正方形OABC之外，被积函数全是0，所以其实就只需要计算正方形OABC内部的区域。
用X型区域。
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这里的区域D2就是三角形BGH
用X型区域。
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分区间，计算S(t)的变上限积分。
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平行截面面积为已知的立体的体积
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附上几个例题。
这类题目，截面可能是三角形，正方形，圆形等等。
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一个题目
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取dx宽度，然后计算垂直于轴的截平面的面积S(x)，截平面等边三角形的边长a = 2*y(x)，截面的面积可以求得，其中y(x)满足抛物线y²=2x。
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列出式子
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另一个题目
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取dx宽度，则截面是等边三角形。
截面的等边三角形的边长a = 2*y(x)，其中y(x)满足圆方程，截面的面积S(x)可以求得。
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列出式子
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心脏线绕轴旋转的体积，更详细的解析过程见19楼。
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书本的解答。
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直线的直角坐标方程。
计算两条线和x轴，y轴的交点。
最终的图像如上面的图所示。
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心脏线L1的体积，减去直线L2的体积。
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计算定积分。
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摆线相关题目汇总。
10楼一定要先看懂。
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摆线一拱和 x 轴(y=0)围成的区域。
1. 求该区域的面积，使用定积分的元素法。见10楼。
2. 求该区域对y的二重积分。
3. 求该区域对y²的二重积分。 y平方可以推广为y的n次方。
4. 求该区域绕x轴旋转一周的立体图形的体积。见17楼。
5. 求该区域绕y轴旋转一周的立体图形的体积。见18楼。见22楼。
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摆线一拱的第一类曲线积分。
1. 求该曲线的长度。
2. 求该曲线对y²的第一类曲线积分。y平方可以推广为y的n次方。
3. 求该曲线绕x轴旋转一周的曲面的侧面积。见27楼。
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摆线的一拱，a 大于零。
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摆线的图形。
图里的a=1，只是示例。
注意红线和绿线，对应的摆线方程是不一样的。
基本上，一个y会对应两个x，
一个是红线的x，另一个是绿线的x，
也就是对应2个t，
在使用换元法时，要注意是y在红线还是y在绿线。
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10楼的图，重新放一遍，详细解释请去看10楼的理论。
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二重积分，被积函数是y。
有些辅导书上面，dy 的上限不是f(x)，而是 y。原理一样。
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根据 t，确定 x 的范围，然后确定 y 的范围。
y的上限是摆线L，曲线方程是y=f(x)，y的下方是 x 轴，直线方程是y=0。
因为后面要对 x 进行定积分的换元法计算，所以y=f(x)不需要用显函数把 y 的表达式计算出来，只需要用f(x)这个代号，来表示摆线的曲线方程。
写出X型区域D的范围。
二重积分，转为累次积分。
对x，用 t 进行换元。因为换元必须要换限，代入 x 的上下限，解出 t 的上下限。
f(x)是摆线的方程，用换元法后，f(x)也要换成 t ，刚好就是摆线的参数方程。
dx到dt是基本的微分计算。
整理方程，得到 t 的定积分表达式。
使用二倍角公式化简1-cost。
再换元一次，注意换元必换限。
0到π的sin积分，等于2倍的0到π/2的sin积分，这个也是常用公式。
使用wallis公式，得到答案。
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二重积分，被积函数是y²，解法同上一图。
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摆线一拱的长度。
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摆线一拱的第一类曲线积分。
被积函数是 y²
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定积分在经济学中的应用。
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变速直线运动的路程。
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