回复：定积分的应用

题目
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先求定义域 x 的范围。
定义域如下图红框。
如果超出红框，则根号内部是负数，不可积。
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求弧长。
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这个题目的锥形是圆锥形。
题目和课件的答案。我的答案在后面。
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我的坐标系是直观的，不需要翻转。
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下图
第一行，确定上图ABC的坐标。
第二行，确定红线AB的斜率。
第三行，确定红线AB的表达式。
第四行，微元法，绿线位置离x轴的距离就是抽水的高度h。
第五行第六行，绿线的截面圆面积。
第七行，绿线的体积微元。
第八行，做功的微元。
第九行，增加上下限变为定积分。
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计算积分。
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题目和课件答案。我的答案在后面。
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我的坐标系是直观的，不需要翻转。
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下图
第一行，红线的表达式。
第二行，微元法，蓝线离x轴的距离就是抽水的高度。
第三行第四行，蓝线的截面圆面积。
第五行，蓝线的体积微元。
第六行，做功的微元。
第七行，增加上下限变为定积分。
第八行到第十行，计算积分。
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两个题目。
题目和书本解答，我的答案在后面。
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书本答案。我的答案在后面。
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第一题
我的坐标系是直观的，不需要翻转。
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以水平面为x轴建立坐标系。
下图
第一行，红线圆的表达式。
第二行，绿线的微元法。
第三行，从绿线向上拉到紫线，总的移动距离是2R
第四行，从绿线到水平面x轴的这一段移动距离是y的绝对值，因为球的密度等于水的密度，所以重力等于浮力，所以这段距离拉力不做功。
第五行，实际做功的距离。
第六行第七行，绿线的截面圆面积。
第八行，绿线的体积微元。
第九行，做功的微元。
第十行，增加上下限变为定积分。
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计算积分。
换元法，下图的蓝色式子就是上面书本答案的式子。书本答案是以圆心为原点的坐标系。
奇偶函数拆开，对称性。
得到答案。
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第二题
我的坐标系是直观的，不需要翻转。
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下图
第一行，红线的表达式。
第二行，蓝线的微元法。蓝线到x轴的距离就是抽水的距离。
第三行第四行，蓝线的截面圆面积。
第五行，蓝线的体积微元。
第六行，做功的微元。
第七行，增加上下限变为定积分。
第八行到第十行，参考第一题的积分计算过程，这里过程省略，和第一题基本类似。
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递推

题目
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答案。
这里对答案讲解一下。
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第1点，显然实线框梯形和虚线框梯形是同一个物体。
第2点，答案不是以起点的虚线框梯形来做微元法，而是以终点的实线框梯形来做微元法。
实线框梯形阴影部分的微元法区间是 [y, y+dy]。
因为实线框梯形阴影部分的高度h = y, 所以实线框梯形阴影部分的水平截面面积S(h) = S(y)。
第3点，因为物体的密度和水的密度相等，所以物体在水下运动不做功。
因为阴影部分离开水平面y=0的距离就是y，所以阴影部分的出水距离就是y
所以 dW = 距离y * 密度ρ * g * 水平截面面积S(y) * dy
第4点，积分微元法区间 [y, y+dy] 是在实线框梯形的物体上，所以y从0积到4，也就是阴影部分从下到上进行积分。
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当然，你可以将 x 轴放到虚线框梯形的底部。
然后虚线框梯形取阴影部分做微元法。
如下图
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对上个图讲解一下。
取下面的梯形做微元法区间 [y,y+dy]，也就是下方梯形的中间那条线做为阴影部分。
阴影部分的面积是S(y)
水平面在y=4
物体阴影部分出水距离d = y，剩下在水下运动的距离不做功。
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题目
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x > 0
y'(x) > 0，y(0) = 1 > 0
易得 y(x) > 0
V1是圆锥的体积，圆锥的底面半径是P点的纵坐标。
圆锥的高是 x 轴上两个点的横坐标的差。
我们先计算切线的表达式，然后计算切线和 x 轴的交点。
V2 比较简单，直接套公式就可以了。
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求导消去变限积分。
化简。
解二阶微分方程。
这里用的是凑导数法，你也可以令 p=y', 转为 p 和 y 的一阶微分方程。
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题目
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这个立体图形是类似圆台的图形。
侧面积不包含上底面和下底面。。。因为绕 x 轴旋转，所以其实应该说左底面和右底面。
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计算极限。
最后使用抓大头求极限。
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题目
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答案
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双纽线 r²=a²cos2θ 绕 x 轴(绕极轴)旋转一周的表面积。
极坐标弧长公式。
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想问一下，区域由参数方程给出的，求二重积分有公式吗，比如52楼的求y和y²的二重积分