回复：定积分的应用

顶

绕 x 轴旋转的 dx 求法。
绕 y 轴旋转的 dy 求法。
圆筒法或套筒法。
.
原理就是对截面面积微元的积分，截面是一个圆，面积就是 πr²
r 就是曲线上的点到旋转轴的距离。
.

.
这里要求 f(x) >= 0。当然 f(x) <= 0 时，对图像y=f(x)沿 x 轴做对称图形，得 y = -f(x)，就可以了。
如果f(x)有正有负，则分段处理。或者加个绝对值，做图像 y = |f(x)|
.
如果是两条曲线围成的面积，绕 x 轴旋转的体积，并且两条曲线满足 f1(x) >= f2(x) >= 0，则体积是 f1(x)旋转的体积减去 f2(x)旋转的体积。
如果将旋转轴从 x 轴改为直线 y= k，并且 f(x) >= k，则将截面圆的半径 r 改为 f(x) - k，再应用公式就可以了。
.
通用公式就是曲线上的点到旋转轴的距离是 |f(x) - k|，就是f(x)减去k的绝对值。
.

.
这里要求φ(y) >= 0
.

.
10楼的换元法先看懂。
.

不感兴趣

开通SVIP免广告

绕y轴旋转的dx求法。
绕x轴旋转的dy求法。
柱壳法或圆盘法。
.

.
柱壳半径，就是曲线上的点到旋转轴的距离。
.

.
10楼的换元法先看懂。
.

这里用直角坐标的旋转体体积公式进行计算。
.
第一象限的心脏线和坐标轴围成的图形绕极轴旋转。
如果改为其他的极坐标曲线方程，计算方法类似。
.
x的范围是从0到2a，列出旋转体的体积公式。
.
y(x)刚好是曲线方程，这里就用y(x)进行表示，后面会进行换元，换元之后y(x)就没了，不必强求将y写成x的显式表达式。
10楼的换元法，先看懂。
.
对x使用极坐标参数方程进行换元，则x和y都变成极坐标表达式。
注意:
这里的上下限，要根据换元来计算得到，所以可能会出现上限小于下限的情况。
其中r是θ的函数，代入r的方程，计算积分。
.

.
下面这个公式的推导，需要用到二重积分。
.

绕任意直线旋转所成旋转体的体积公式。
dσ = dxdy，二重积分。
.

.
极坐标变换是dxdy=rdrdθ
如果题目给的是参数方程，可以先化为定积分，然后再用换元法。见10楼的换元法。
.

.
点到直线的距离公式。
.

平行截面面积为已知的立体的体积
.

摆线一拱绕轴旋转的体积。
.
问题:
绕y轴旋转时，为什么第一项上下限是2π到π，第二项上下限才是0到π?
解答:
请先看懂10楼的换元法。
第一项是绿线绕y轴旋转而成的旋转体的体积，
第二项是红线绕y轴旋转而成的旋转体的体积。
当t从0到π时，是红线，这时x是0到πa。
当t从π到2π时，是绿线，这时x是πa到2πa。
.
注意：
sinx=t，得x=arcsint+2kπ或x=2kπ+π-arcsint
更详细请看最后一图的解释。
.
.

.
17楼和18楼里面，也有摆线绕轴旋转的体积计算过程。
.

.
sinx=t，得x=arcsint+2kπ或x=2kπ+π-arcsint
.

先证明一个常用的结论。
华里士公式的推广。
.
正弦和余弦的乘积在一个周期内的积分。
n和m是正整数或零。
当n或m为0时，说明没有这一项，就是纯正弦或纯余弦。可以转为wallis公式。
.
结论就是:
当n或m任意一个为奇数时(含同时为奇数的情况)，积分值为0。
当n和m同时为偶数时，积分值不为0。此时可以转为wallis点火公式进行计算。
可以利用sin平方+cos平方=1化为sin或cos的正偶数次方的多项式。
.
这个结论在参数方程时经常会用到。
.