回复：二重积分, 直角坐标系, 极坐标系, 交换积分次序

绿线在紫线的左边，但是绿线是上限，紫线是下限。
而二重积分强制要求上限大于下限。
所以先更换dx的上下限，然后才能转为二重积分。
二重积分才能极坐标变换。
Y型区域转极坐标。
由对称性，可以只计算第一象限。
绿线和紫线在第一象限的交点在直线θ=π/4上。
θ从0到π/4，r从绿线到紫线。
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八分之一圆。
Y型区域: y从0到根号2，x从红线到蓝线。
题目要求转为X型区域。
X型区域从紫线分开两个区域。
X型区域1: x从0到根号2，y从绿线到红线。
X型区域2: x从根号2到2，y从绿线到蓝线。
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极坐标转直角坐标。
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X型区域D1: x从0到根号2除以2，y从绿线到紫线。
X型区域D2: x从根号2除以2到根号2，y从绿线到蓝线。
Y型区域D3: y从0到根号2除以2，x从红线到蓝线。
Y型区域D4: y从根号2除以2到1，x从红线到紫线。
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紫线和蓝线的方程表达式见最后一图的推导过程。
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类似48楼到50楼。增加辅助线拆开区域，然后使用对称性。
区域1和2关于x轴对称，y奇函数积分为零。
区域3和4关于y轴对称，x奇函数积分为零。
区域3写成X型区域，x从0到1，y从绿线到紫线。
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区域D关于x=a对称，则(x-a)的奇函数的积分为零。
区域D关于y=b对称，则(y-b)的奇函数的积分为零。
证明方法:
个人建议先坐标平移再用对称性，这样不容易出错。不要直接使用x=a，y=b的对称性，容易出错。
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坐标系平移是最简单的证明方法。
坐标系平移之后。
D(uv)关于u=0对称，则u的奇函数的积分为零。
D(uv)关于v=0对称，则v的奇函数的积分为零。
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双纽线先看懂55楼。
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两个题目，被积区域都是双纽线内部区域。
用一下对称性。
奇函数的积分为零。
偶函数积分翻倍，只计算第一象限。
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心脏线的极坐标方程。
对于不认识的曲线，可以通过描点法进行画图。
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将等号改为小于等于号就是心脏线内部区域。
红线和蓝线最常见。
绿线和紫线只需要了解一下，基本不会考到。
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wallis公式，这个是必考的。
更多的公式请去看我的区间再现贴。
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请先看懂前两个楼层，89楼和90楼。
心脏线的题目两个。
第一题本身只有一半区域。凑微分，定积分的换元法，定积分的对称性。
第二题用对称性，只计算x轴上方的区域。 0到π的cosθ的n次方用一下90楼的公式。
x轴上方区域: θ从0到π，r从0到心脏线。
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画区域图。
对称性。xy积分为零。
只计算第一象限。
X型区域: x从0到1，y从蓝线到红线。
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选C。
四分之一的单位圆。
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根据阴影部分的区域，写出Y型区域和X型区域。
X型区域: x从0到1，y从红线到蓝线。
Y型区域1: y从负1到1，x从绿线到红线。
Y型区域2: y从1到2，x从绿线到蓝线。
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X型区域转Y型区域。
Y型区域: y从1到2，x从蓝线到红线。
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X型区域转Y型区域。
紫线分开两个区域。
Y型区域1: y从0到a/2，x比红线到蓝线。
Y型区域2: y从a/2到a，x从绿线到蓝线。
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区域用极坐标表示。
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画区域图。
绿线和红线的交点，在直线θ=π/4上。
θ从0到π/4，r从绿线到红线。
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