回复：二重积分, 直角坐标系, 极坐标系, 交换积分次序

分区域去绝对值。
红线和x轴围成的区域是被积区域。
绿线将区域分为两块。
极坐标系。
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蓝线将区域分为两块。
求定积分，用凑微分。
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上个楼层70楼先看懂。
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dy的积分求不出来，交换积分次序。
蓝色的定积分是很常见的积分。
A和B在各种题目中，会以各种值出现。
凑微分，分部积分。
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有些题目的x和y会互换，解题方法类似。
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sgn函数请自行百度。
题目在第二图。
分区域去掉sgn函数。
第三图的积分公式，我的积分入门贴里面有详细推导过程。
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绿线蓝线和坐标轴围成的封闭区域。
红线分成两个区域。
一个用X型区域，另一个用Y型区域。
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红线将整个平面分为两个区域。
一个用Y型区域，另一个用X型区域。
同时交换被积区域和被积函数的x和y，两个积分值相等。
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坐标平移，最简单的二重积分换元法。
dxdy=dudv，不需要雅可比行列式。
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坐标平移之后，圆心在原点。
中间过程看最后一图，都是基础知识。
几何意义是圆面积。
对称性，轮换对称性。
极坐标系。
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先看懂上个楼层78楼。
反双曲正弦函数是奇函数，证明看第二图。
几何意义，对称性，轮换对称性。
极坐标。
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先看懂47楼和78楼。
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分区域去绝对值。具体计算过程，看下面的组图。
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被积区域的边界是红线的圆。被积区域是红线内部区域。
令绝对值等于0，将边界画出来，是蓝线的圆。
红线圆内部区域是区域D。
蓝线圆内部区域是区域D1。
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判断两个区域的包含关系。
由区域图，结合下面的代数计算，可知区域D1在区域D的内部。
将区域分为D1，D-D1。然后根据区域去掉绝对值。
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区域D1，直接用极坐标计算，是可以的。但是过程太繁。
这里只给出极坐标上下限的确定方法，实际计算并不使用，后面会用另一种简便方法进行计算。
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区域D是标准的圆，做极坐标变换。
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区域D1，坐标系平移，化为标准的圆。
第一项被积函数是1，几何意义得圆的面积。
第二项做极坐标变换。
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红线在蓝线的左边，但是红线是上限，蓝线是下限。
而二重积分强制要求上限大于下限。
所以先更换dx的上下限，然后才能转为二重积分。
二重积分才能交换积分次序。
Y型区域转X型区域。
X型区域: x从1到2，y从红线到绿线。
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八分之一圆。
Y型区域: y从0到根号2，x从红线到蓝线。
题目要求转为X型区域。
X型区域从紫线分开两个区域。
X型区域1: x从0到根号2，y从绿线到红线。
X型区域2: x从根号2到2，y从绿线到蓝线。
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极坐标转直角坐标。
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X型区域D1: x从0到根号2除以2，y从绿线到紫线。
X型区域D2: x从根号2除以2到根号2，y从绿线到蓝线。
Y型区域D3: y从0到根号2除以2，x从红线到蓝线。
Y型区域D4: y从根号2除以2到1，x从红线到紫线。
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紫线和蓝线的方程表达式见最后一图的推导过程。
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类似48楼到50楼。增加辅助线拆开区域，然后使用对称性。
区域1和2关于x轴对称，y奇函数积分为零。
区域3和4关于y轴对称，x奇函数积分为零。
区域3写成X型区域，x从0到1，y从绿线到紫线。
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