回复：二重积分, 直角坐标系, 极坐标系, 交换积分次序

使用极坐标计算二重积分。
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添加绿线，分为两个区域。
区域1: θ从0到π/4，r从0到红线。
区域2: θ从π/4到π/2，r从0到蓝线。
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计算定积分时，使用凑微分。
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使用对称性，奇函数xy的积分是零。
只计算第一象限，然后两倍。
使用极坐标计算二重积分。
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θ从π/4到π/2，r从0到紫线。
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使用极坐标计算二重积分。
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积分区域是紫线右边的红圆内部区域。
用对称性，奇函数xy积分为零。
只计算第一象限的积分，两倍。
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图中的解法是没有画区域图的纯代数解法，所以用的是定积分的对称性，并不是用的二重积分的对称性。
这种解法，也是对的，但是更麻烦，可以了解一下不画图的纯代数解法，但个人不建议使用。
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蓝线是θ=π/3
θ从0到π/3，r从紫线到红线。
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计算定积分时，使用了二倍角公式。
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使用极坐标计算二重积分。
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此题的被积区域是红圆挖掉蓝圆剩下的区域。
无法用一个区域进行表示。
使用红圆区域减去蓝圆区域进行计算。
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计算定积分时，使用了wallis公式。
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对称性，奇函数xy的积分为零。
只计算第一象限，积分两倍。
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第一图用X型区域进行计算。
X型区域: x从0到1，y从红线到紫线。
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计算定积分时，使用定积分的换元法。
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第三图用极坐标进行计算，需要蓝线分开两个区域。使用极坐标之后计算更复杂。
区域1: θ从0到π/4，r从0到红线。
区域2: θ从π/4到π/2，r从0到紫线。
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计算定积分时，使用了凑微分。
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对称性，奇函数xy的积分为零。
只计算第一象限，积分两倍。
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使用极坐标计算二重积分。
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θ从0到π/4，r从红线到绿线。
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计算定积分时，使用二倍角公式，使用凑微分，sec²θdθ=d(tanθ)
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被积函数关于x和y轮换对称。
被积区域关于y=x对称。
由20楼的轮换对称性，可以只计算一半的被积区域，然后两倍。
取y=x下方区域，记为区域D1。
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使用极坐标计算二重积分。
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θ从0到π/4，r从0到绿线。
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计算定积分时，使用了凑微分。
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被积函数关于x和y轮换对称。
被积区域关于y=x对称。
由20楼的轮换对称性，可以只计算一半的被积区域，然后两倍。
取y=x下方区域，记为区域D1。
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使用极坐标计算二重积分。
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被积区域:
一半是绿线紫线蓝线围成的封闭区域。
一半是绿线红线黑线围成的封闭区域。
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蓝线和紫线交点的θ=arctan(1/2)
θ从arctan(1/2)到π/4，r从紫线到蓝线。
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计算定积分时，使用了凑微分。
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两个题目，一样的区域，不同的被积函数。
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第一题，补上y轴分开两个X型区域。
第二题，补上x轴，使用蓝色八分之三圆，减去绿色二分之一圆。
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使用直角坐标的X型区域进行计算。
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使用极坐标进行计算。
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矩形区域，区域图就不画了。
Y型区域或X型区域都可以。
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计算定积分时，使用凑微分。
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X型区域或Y型区域都可以。
Y型区域相对计算简单。
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Y型区域只有一个区域，用Y型区域进行计算。
Y型区域: y从0到2，x从绿线到蓝线。
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第三图中解法没用二重积分的对称性，用的是定积分的对称性。
第四图用的二重积分的对称性。
只计算第一象限。
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Y型区域的计算相对简单一些。
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计算定积分的时候，用了凑微分，分部积分。
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被积函数是分段函数。
根据分段函数的分界处，分开区域。
对称性，只计算第一象限，四倍。
区域D1是蓝线区域在第一象限的部分。
区域D2是蓝线之外，红线之内的区域在第一象限的部分。
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区域D1用直角坐标。
区域D2用极坐标。θ从0到π/2，r从蓝线到红线。
1/(sinθ+cosθ)的定积分见最后一图的计算。
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被积函数是分段函数。
根据分段函数的分界处，分开区域。
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蓝线绿线紫线围成的区域上，被积函数不为零。
二重积分的被积区域是红圆之外的区域。
所以实际上，有效的被积区域是红线蓝线紫线围成的封闭区域。其他区域的积分值是零。
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第一种解法是X型区域。
第二种解法是极坐标。θ从0到π/4，r从红线到紫线。
极坐标的计算更复杂。
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