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回复：二重积分, 直角坐标系, 极坐标系, 交换积分次序

dy的积分求不出来，交换积分次序。
X型区域转Y型区域。
Y型区域: y从0到1，x从红线到绿线。
求定积分时，使用定积分的换元法，然后分部积分。
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dy的积分求不出来，交换积分次序。
X型区域转Y型区域。
Y型区域: y从0到2，x从绿线到红线。
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2025-10-12 00:03:49
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dy的积分求不出来，交换积分次序。
X型区域转Y型区域。
特殊的定积分换元法。我的积分入门贴168楼有详细讲解。
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使用极坐标计算二重积分。
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蓝线的极坐标方程见第三图的推导。
θ从0到π/2，r从蓝线到紫线。
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使用极坐标计算二重积分。
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积分区域是八分之一的圆。
θ从0到π/4，r从0到蓝线。
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使用极坐标计算二重积分。
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积分区域是八分之一的圆。
θ从π/4到π/2，r从0到红线。
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使用极坐标计算二重积分。
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积分区域是八分之一的扇环。
θ从0到π/4，r从蓝色圆弧到绿色圆弧。
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使用极坐标计算二重积分。
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θ从0到π/4，r从0到蓝线。
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2025-10-11 23:57:49
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使用极坐标计算二重积分。
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四分之一的圆。
θ从0到π/2，r从0到蓝线。
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特殊的不定积分固定解法，更详细见我的积分入门贴70楼。
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使用极坐标计算二重积分。
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θ从π/4到π/2，r从0到红线。
计算定积分时，使用二倍角公式。
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使用极坐标计算二重积分。
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θ从0到π/4，r从绿线到蓝线。
secθ的积分是基本积分公式，具体推导过程请去看我的积分入门贴。
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使用极坐标计算二重积分。
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添加绿线，分为两个区域。
区域1: θ从0到π/4，r从0到红线。
区域2: θ从π/4到π/2，r从0到蓝线。
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计算定积分时，使用凑微分。
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使用对称性，奇函数xy的积分是零。
只计算第一象限，然后两倍。
使用极坐标计算二重积分。
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θ从π/4到π/2，r从0到紫线。
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使用极坐标计算二重积分。
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积分区域是紫线右边的红圆内部区域。
用对称性，奇函数xy积分为零。
只计算第一象限的积分，两倍。
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图中的解法是没有画区域图的纯代数解法，所以用的是定积分的对称性，并不是用的二重积分的对称性。
这种解法，也是对的，但是更麻烦，可以了解一下不画图的纯代数解法，但个人不建议使用。
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蓝线是θ=π/3
θ从0到π/3，r从紫线到红线。
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计算定积分时，使用了二倍角公式。
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2025-10-11 23:51:49
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使用极坐标计算二重积分。
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此题的被积区域是红圆挖掉蓝圆剩下的区域。
无法用一个区域进行表示。
使用红圆区域减去蓝圆区域进行计算。
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计算定积分时，使用了wallis公式。
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