回复：二重积分, 直角坐标系, 极坐标系, 交换积分次序

利用极坐标系计算二重积分。
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直角坐标系的面积元素(面积微元)，是dxdy
极坐标系的面积元素(面积微元)，是rdrdθ。
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这里先讲积极角θ，再积极径r。
先r后θ放在后面楼层再介绍。
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注意:
极径r 大于等于零。
径角θ 一般有三种取法: 0到2π，负π/2到3π/2，负π到π。
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θ上下限的确定:
从极点做射线，和区域的交点为1个或2个。
极点如果属于该区域，则极点也算一个交点。
如果射线和区域的交点超过2个，则需要拆开区域。
将射线绕极点旋转扫描一圈，就能确定θ的范围。
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r 上下限的确定:
如果边界曲线不能同一个统一的方程表达式进行表示，则需要在分段处，分区域。
第1类区域特征，r 下限能用一个统一表达式φ1，r 上限能用一个统一表达式φ2。
第2类区域特征，r 下限退化为极点 r=0
第3类区域特征，θ 上限和下限退化为一个圆周的角度，也就是0到2π。
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下面开始讲极坐标系。
常见的圆，所有的直线，常见的抛物线。
对于半圆，圆环，扇形，只是极角和极径的上下限有变化。
但是曲线的极坐标方程是不会变的。
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注意：
所有的极径 r 都是大于等于零的，没有负极径。
直角坐标系的曲线方程，转为极坐标系方程，就是把x=rcosθ，y=rsinθ代到方程。
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对于其他的圆，一般需要用参数方程，也就是平移坐标系，将新坐标系放在圆心位置，然后再进行变换。
注意：
选取的极坐标系的极点位置不同，得到的结果肯定是不一样的，这点要记住。
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这里的图，取的R=1。
极角θ的范围，可以从区域图上看出来，也可以通过解不等式，利用代数算法得到。代数算法在图里面都有写明。
(1)看下面的红圆。圆心在原点的圆。
(2)看下面的蓝圆。过原点的圆，圆心在 x 正半轴上。
(3)看下面的绿圆。过原点的圆，圆心在 y 正半轴上。
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圆心在原点的圆。
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过原点的圆，圆心在 x 正半轴上。
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过原点的圆，圆心在 y 正半轴上。
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过原点的圆，圆心在y=x上，且圆心在第一象限。
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过原点的圆。圆心在y=x上，且圆心在第一象限。
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过原点的直线。只影响极角。
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不过原点的直线。
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抛物线。
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二重积分的换元法。
更详细的，请去看同济大学高等数学的教材。
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例题8。
合理利用对称性。
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红线和紫线围成的封闭区域就是积分区域。
积分区域关于y轴对称。
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红线和紫线围成的封闭区域就是积分区域。
积分区域关于y轴对称。
取第一象限区域D1，偶倍奇零。
化为X型区域的累次积分。
x从0到1，y从紫线到红线。
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例题9。
合理利用对称性。
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积分区域是个椭圆。
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积分区域是个椭圆。
关于x轴对称，关于y轴也对称。
第一项积分为零。第二项积分的被积函数是1，所以几何意义是区域面积。
椭圆的面积公式。
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上面是X型区域解法，下面是Y型区域解法。
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先画区域图。
x从1到2，y从1到2，红线蓝线绿线围成的封闭区域。
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X型区域，x从1到2，y从红线到绿线。
Y型区域，y从1到2，x从绿线到蓝线。
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被积函数在dx时，没有初等函数解。
所以不能先积dx，只能先积dy，所以要用X型区域。
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画出区域图。
蓝线和红线围成的封闭区域。
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X型区域，x从0到1，y从蓝线到红线。
Y型区域，y从0到1，x从红线到蓝线。
此题需要用X型区域进行计算。
定积分的解法中，使用凑微分，分部积分。
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二重积分，直角坐标系，交换积分次序。
这个楼层有三个例子，都是X型区域转为Y型区域。
第1个例子，一个X型区域转为一个Y型区域。
第2个例子，一个X型区域转为多个Y型区域。
第3个例子，多个X型区域转为一个Y型区域。
这3个例子，都是基础中的基础，必须要掌握。
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X型区域，x从0到1，y从红线到绿线。
蓝线红线绿线围成的封闭区域。
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Y型区域，y从0到1，x从蓝线到绿线。
求出蓝线，绿线的x表达式。
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此题对初学者有一定难度，但是也是基础题，需要熟练掌握。
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令a=2画出区域图。
X型区域，x从0到2a，y从蓝线紫线到红线。
蓝线紫线绿线红线围成的封闭区域。
因为蓝线和紫线x的表达式是不一样的，所以为了区分，我这里画了两种颜色。
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Y型区域，需要分为3个。
y从0到a时，与x轴平行的直线和区域交点会超过两个，所以需要分区域。
第一个子区域，x从红线到蓝线。
第二个子区域，x从紫线到绿线。
y从a到2a时，x从红线到绿线。
需要注意：x的表达式在蓝线和紫线是两个表达式。
求出蓝线，紫线，绿线，红线的x表达式。
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此题对初学者有一定难度，但是也是基础题，需要熟练掌握。
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X型区域，x从0到1，y从紫线到红线。
X型区域，x从1到2，y从紫线到蓝线。
红线紫线蓝线围成的封闭区域。
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Y型区域，y从0到1，x从红线到蓝线。
求出红线，蓝线的x表达式。
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画区域图，交换积分次序。
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令a=2，画出区域图。
X型区域，x从0到a，y从绿线到红线。
Y型区域，y从0到a，x从红线到蓝线。
此题有两种解法：
第一种解法是交换积分次序。
第二种解法是分部积分。
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曲顶柱体的体积。
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曲顶柱体的体积。
八个卦象对称，只计算第一个卦象。
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令R＝2，画出区域图。
积分区域是第一象限四分之一的圆。
X型区域，x从0到2，y从红线到蓝线。
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曲顶柱体的体积。
这个图形有上底面和下底面，需要分开计算。
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课件的算法。
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画出区域图。
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画出区域图。
紫线红线蓝线围成的封闭区域。
X型区域，x从0到1，y从红线到蓝线。
两个曲顶柱体的顶面分开计算，然后体积1减去体积2
判断两个顶面是否在z=0的上方，再判断哪个是上底面，哪个是下底面。
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三个题目。
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课件解法：
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令绝对值等于零。黑色抛物线就是区域分界线。
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黑色抛物线将被积区域分为两块。
抛物线下方区域记为区域D1，上方区域记为区域D2
D2等于D减去D1。
区域内，任意取一点，代入被积函数，可以得到大于零或者小于零，就可以去掉绝对值。
同一个区域内，被积函数不变号。
拆开区域，去掉绝对值。
这里，我们不计算区域D2，而是将区域D2转为D和D1进行计算。
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课件解法
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被积区域是正方形，关于y=x对称。
满足轮换对称性。
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被积区域是正方形，关于y=x对称。
满足轮换对称性。
轮换对称之后，和原式相加。
被积函数是1，二重积分的值就是区域面积，就是正方形的面积。
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第3题是第2题的特例。解法类似。
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画出区域图。
蓝线紫线绿线围成的封闭区域。
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直接积dx，没有初等函数解。
更换积分次序。使用X型区域进行计算。
Y型区域，y从0到1，x从蓝线到绿线。
X型区域，x从0到1，y从紫线到蓝线。
积分使用凑微分。
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画出区域图。
红线和蓝线围成的封闭区域。
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直接积dy，没有初等函数解。
使用Y型区域进行计算。
曲线表达式：y=根号x 得到 x=y平方
X型区域，x从0到1，y从蓝线到红线。
Y型区域，y从0到1，x从红线到蓝线。
积分使用凑微分。
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交换积分次序。
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画出区域图。
蓝线红线绿线围成的封闭区域。
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交换积分次序。
X型区域转为Y型区域。
X型区域1：x从0到1，y从红线到蓝线。
X型区域2：x从1到2，y从红线到绿线。
Y型区域：y从0到1，x从蓝线到红线。
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两个例题都是经典例题。
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先画出积分区域图。
X型区域：x从0到1，y从红线到紫线。
也就是y=x的上方区域。
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y=x上方区域，记为区域D1
y=x下方区域，记为区域D2
D1和D2关于y=x对称。
交换x轴和y轴的命名，交换字母x和y。
因为被积函数关于x和y轮换对称，所以实际上从区域D1变为区域D2.
将交换后的积分和原式相加。因为被积函数是一样的，所以相当于区域相加，合并为区域D。区域D是个正方形。
正方形区域，化为累次积分。
定积分的数值和被积变量的字母无关，所以x可以换成y。
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不使用轮换对称性的解法，直接用原函数法，也是可以的。
将dy的上限改为x，下限改为0，就是另一半区域的积分，结果不变。
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课件解法，最后将a代回到原式，就可以得到函数表达式。
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画出积分区域图。
积分区域关于y轴对称，所以x的奇函数积分为零，x的偶函数积分翻倍。
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很常见的题型，必须要掌握，解法固定。
二重积分的积分值是个常数，设为常数A。得到函数表达式。
将函数表达式，代入到A中。可以得到A的方程，解出A。
利用对称性，偶倍奇零，计算积分。
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极坐标变换，入门题。
圆的极坐标方程的推导过程请看22楼。
最常见的三种圆，这三种必须熟练掌握。
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例题1:
第一小题，θ从0到π/2，r的下限是0，上限是圆的极坐标方程。
第二小题，θ从0到π，r的下限是0，上限是圆的极坐标方程。
第三小题，θ从0到2π，r的下限是0，上限是圆的极坐标方程。
第四小题，y轴是圆在极点处的切线方程，所以θ从负π/2到π/2，r的下限是0，上限是圆的极坐标方程。
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例题2:
上下限参考例题1.3。
例题3:
上下限参考例题1.4。
例题4:
角度θ，从π/4到π/2。
r的下限是0，上限是圆的极坐标方程。
凑微分d(sinθ)
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什么时候用极坐标系？
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极坐标系的解题步骤：
必须要掌握的基础知识。
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例题，课件的解法。
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画出区域图。同心圆，从红线到蓝线。
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此题不使用对称性，也一样能解。
列出红线的极坐标方程，列出蓝线的极坐标方程。
dθ 可以直接积分。dr 凑微分。
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画出区域图。
区域在第一象限内。
极角从绿线到紫线。
极径从红线到蓝线。
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求出绿线，紫线，红线，蓝线的极坐标方程。
化为极坐标，然后求积分。
用到二倍角公式。
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多个区域的极坐标系，例题。
这个例题，因为 r 的上限表达式，不能用统一的表达式进行表示，所以需要拆分区域。
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书本答案
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区域图是两个圆围成的公共部分，就是写着数字1，数字2，数字3的区域。
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第一步，联立方程组，求出两个圆的交点。
第二步，过交点做绿线，得到绿线的极坐标方程。
第三步，得到两个圆的极坐标方程。
第四步，写出各个区域的上下限。
一共需要分为三个区域。分别写着数字1，数字2，数字3.
区域1，θ从负π/2到负π/3，r的下限是0，r的上限是蓝线的圆。
区域2，θ从负π/3到π/3，r的下限是0，r的上限是红线的圆。
区域3，θ从π/3到π/2，r的下限是0，r的上限是蓝线的圆。
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实际计算的时候，我们可以利用对称性简化计算。
因为被积区域关于x轴对称，被积函数是y的偶函数。
所以可以取第一象限区域D1，然后积分值翻倍。
再将D1拆为D2和D3。
这样区域就只有两个，比上图的三个要少，能简化计算。
注意：
这里的D1,D2,D3和上个图里面的D1,D2,D3表示的东西不一样。
上个图只是举例如何划分区域，并得到区域的上下限。
最后计算积分，用到二倍角公式，凑微分。
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直角坐标转为极坐标。
注意：
f(x,y)dxdy = f(rcosθ, rsinθ) rdrdθ ，这个不要漏写了。
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画出区域图。
计算抛物线和直线的交点。
连接极点和交点，计算虚线的极角。
因为 r 的上限表达式，不能用统一的表达式进行表示，所以需要拆分区域。
分为3个区域。
区域1，θ从0到π/4，r的下限是0，r的上限是抛物线。
区域2，θ从π/4到3π/4，r的下限是0，r的上限是直线y=1。
区域3，θ从3π/4到π，r的下限是0，r的上限是抛物线。
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直线y=1，抛物线的极坐标方程，可以看22楼的推导过程。
也可以看下图，下图也是推导过程。
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