楼主这个这个∠α≈68度43分48秒,可以用下图的方法求出来：  
∵tg(α/3)/tg(α/2)=xy/xz=(-1+√5)/2  
很厉害，就是这意思，不过我是设a为所三等分角的三分之一，方法一样。

没看到证明过程，都必须是正整数吗？68度43分48秒不再此列啊，如果证明是正确的，说明还有遗漏的三等分作法，其实用倒推法慢慢那去发现一定还会有。

设a为要三等分的角tg(α/3)/tg(α/2)=xy/xz=(-1+√5)/2
设a为三等分角的三分之一则式子变成：tg(a)/tg(3a/2)=xy/xz=(-1+√5)/2
由此推出tg(a)/tg(3a/2)=xy/xz=(3-√5）/2这个角也可以尺规作图三等分同理
：
tg(a)/tg(3a/2)=xy/xz=1
tg(a)/tg(3a/2)=xy/xz=1/2
tg(a)/tg(3a/2)=xy/xz=1/3
tg(a)/tg(3a/2)=xy/xz=1/4
tg(a)/tg(3a/2)=xy/xz=1/6
、、、、、、、、
线段XY只要能用尺规等分出比例这个角就能尺规作图发三等分。

∵△ABC的三边长度为495、4888、4913
∴495+4888+4913=10296。 495/10296*180°=∠A 4888/10296*180°=∠B。
把∠A=a带入tg(α/3)/tg(α/2)=xy/xz求出比率来作 ∠B同理。

你tg(α/3)这个函数怎么化简？没有公式化啊 所以换成tg(a)/tg(3a/2)=xy/xz=(-1+√5)/2这种形式，最后化成方程式求值

如上图所示：
设角A为要三等分的角tg(A/3)/tg(A/2)=xy/xz
设角A为三等分角的三分之一则式子变成：tg(A)/tg(3A/2)=xy/xz（方便化简）
通过计算知：xy/xz设它的比值为xy/xz=n取值范围为--( 1>n>0 ）n值越小时角A度数越大n值越大时角A度数越小。
若比值为分数形式：（直线不能尺规三等分的前提下）则分子为偶数正整数,数学式表示为2n（n为任意正整数），分母为2的x（x为正整数）次方的正整数（分母大于分子）。
综上所述所以：
能用尺规方法三等分角求角度数的数学式表达为：
tg(A)/tg(3A/2)=2n/2^x（2^x>2n）
用倒推法只要符合以上条件的比值代入式子即可求出角A的度数，因为参与函数所以最后的度数是无限数。


感谢这位朋友的理解与支持

上面不用看了错误太多整理重发一下：
由下图得知：tg∠xay/tg∠xaz = xy/xz
设：∠xay=∠A，∠xaz=∠3A/2，（∠A为所要三等分角的1/3）
则得出式子：tg∠(A)/tg∠(3A/2)=xy/xz（容易化简计算此式）
或设：∠xay=∠A/3，tg∠xaz=A/2（∠A为所要三等分的角）
则得出式子：tg∠(A/3)/tg∠(A/2)=xy/xz
通过计算知：xy/xz设它的比值为xy/xz=a取值范围为--( 1>a>0 ）a值越小时角A度数越大，a值越大时角A度数越小。
若比值为分数形式：（直线不能尺规三等分的前提下）则分子为正整数,设数学式表示为n；分母2的x（x为正整数）次方的正整数，设为2^x（分母大于分子：2^x>n）（xy/xz的比值为黄金分割率除外）。
综上所述所以：
能用尺规方法三等分角求角度数的数学式表达为：
tg∠(A)/tg∠(3A/2)=n/2^x（2^x>n）
用倒推法只要符合以上条件的比值代入式子即可求出∠A的度数，因为参与函数所以最后的度数是无理数。



化简求出方程式：
由tg∠(A)/tg∠(3A/2)=n/2^y（2^y>n）（n为正整数，y为正整数（2^y>n）
设：∵x=cos∠A
化简得：(1-x^2+7x^3-4x^5-3x)/(x^2-4x^5+3x^3)=(n/2^y)^2
若n/2^y=1/2时则（n/2^y）^2=1/4
带入式子得：
(1-x^2+7x^3-4x^5-3x)/(x^2-4x^5+3x^3)=1/4
化简得：12x^5-25x^3+5x^2+12x-4=0
求得根为：
化简求出方程式：
由tg∠(A)/tg∠(3A/2)=n/2^y（2^y>n）（n为正整数，y为正整数（2^y>n）
∵x=cos∠A；∴>1x>0.5(∠A<60度)由图得知
化简得：(1-x^2+7x^3-4x^5-3x)/(x^2-4x^5+3x^3)=(n/2^y)^2
若n/2^y=1/2时则（n/2^y）^2=1/4
带入式子得：
(1-x^2+7x^3-4x^5-3x)/(x^2-4x^5+3x^3)=1/4
化简得：12x^5-25x^3+5x^2+12x-4=0
求得实数根为：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=12x%5E5-25x%5E3%2B5x%5E2%2B12x-4%3D0
x=(√17 -1)/4
x=(√57 -3)/12（这个被排除∵x<0.5)
x=(√17 -1)/4由根得知
cos∠A= x =(√17 -1)/4 = 0.78077640640441513745535246399352
反函数求角度得：∠A=38度40分06秒
∵设角A为三等分角的三分之一则式子变成：tg(A)/tg(3A/2)=xy/xz（方便化简）
∴∠A*3=116度0分18秒
∴这个能够用尺规三等分的角的度数为116度0分18秒
做图方法下图所示：C点是AB的中点 尺规做出C点即可

一楼此方法解法：
(1-x^2+7x^3-4x^5-3x)/(x^2-4x^5+3x^3)=（（（√5-1）2）/1）^2=(（√5-1）2)^2=（3-√5）/2
得出方程：4x^5-4√5 x^5+5x^3+3√5 x^3-5x^2+√5 x^2-6x+2=0
求根得：http://www.wolframalpha.com/input/?i=4x%5E5-4%E2%88%9A5+x%5E5%2B5x%5E3%2B3%E2%88%9A5+x%5E3-5x%5E2%2B%E2%88%9A5+x%5E2-6x%2B2%3D0
符合条件的只有
x=0.92111783966215262504589314787461
反函数乘3得角度为：68度43分48秒


符合条件的只有
（√（13+4√5）-1）/4

由下图得知：tg∠xay/tg∠xaz = xy/xz
设：∠xay=∠A，∠xaz=∠3A/2，（设∠A为所要三等分角的1/3）
则得出式子：tg∠(A)/tg∠(3A/2)=xy/xz
由图计算知：设xy/xz的比值为xy/xz=a则取值范围为--( 1>a>1/2 ）a值越小时角A度数越大，a值越大时角A度数越小。
若比值为分数形式：（直线不能尺规三等分的前提下）则分子为小于分母的正整奇数，设数学式表示为n；分母2的m（m为正整数）次方的正整数，设数学式表示为2^m
（分母大于分子：2^m>n）
xy/xz的比值 黄金分割率除外（√5-1）/2；（3-√5）/2
综上所述所以：
能用尺规方法三等分角求角度数的数学式表达为：
tg∠(A)/tg∠(3A/2)=n/2^m（2^m>n）
用倒推法只要符合以上条件的比值代入式子即可求出∠A的度数，因为参与函数所以最后的度数是无理数。


化简求出方程式：
由tg∠(A)/tg∠(3A/2)=n/2^m（2^m>n）；n为正整奇数数，m为正整数（2^y>n）
设：cos∠A=x
化简得：(1-x^2+7x^3-4x^5-3x)/(x^2-4x^5+3x^3)=(n/2^m)^2
若n/2^m=1/2时则（n/2^y）^2=1/4
带入式子得：
(1-x^2+7x^3-4x^5-3x)/(x^2-4x^5+3x^3)=1/4
化简得：12x^5-25x^3+5x^2+12x-4=0
求得根为：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=12x%5E5-25x%5E3%2B5x%5E2%2B12x-4%3D0
由图得知∵x=cos∠A；∴1>x>1/2(∠A<60度)
实数根为：
x=(√17 -1)/4
x=(√57 -3)/12（这个被排除∵x<1/2)
x=(√17 -1)/4由根得知
cos∠A= x =(√17 -1)/4 = 0.78077640640441513745535246399352
反函数求角度得：∠A=38度40分06秒
∵设角A为三等分角的三分之一
∴∠A*3=116度0分18秒
∴这个能够用尺规三等分的角的度数为116度0分18秒
做图方法下图所示：C点是AB的中点 尺规做出C点即可：