【图片】回复：二重极限, 多元函数连续性, 可微定义, 偏导数定义【高等数学吧】

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求二元函数在某点的全微分。
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直接使用求导公式，链式法则。
然后代入点(0,0)
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在原点的x和y的偏导数均存在，但是不可微。
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连续定义，证明连续。
偏导数定义，求出偏导数。
可微定义。取特殊路径，极限不存在。所以不可微。
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x和y的偏导数在某点连续，则二元函数在该点可微。
可微，不能推出偏导数在某点连续。
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注意：
因为偏导数是多元函数，所以偏导数连续需要使用多元连续的连续性进行判别。
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二元函数在某点可微，但是x和y的偏导数在该点不连续。
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连续定义，证明连续。
偏导数定义，求出偏导数。
可微定义。在(0,0)可微，所以f(x,y)在整个二维平面上可微。
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使用求导公式计算出除去(0,0)点外的偏导数表达式。当然，你也可以列偏导数定义的极限式子进行求解。
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第一项的极限为0，第二项的极限不存在。
所以 x 的偏导数在(0,0)处不连续。
因为x和y是轮换对称的，所以把x和y对调，就是y的偏导数，同理在(0,0)处也不连续。
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x和y的偏导数在(0,0)存在，但是二元函数在(0,0)不连续。
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二元函数在某点不可微，但是x和y的偏导数在该点存在，二元函数在该点连续。
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连续定义，证明连续。
偏导数定义，求出偏导数。
可微定义。取特殊路径，极限不存在。所以不可微。
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多元函数，连续不一定可偏导，可偏导不一定连续。
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多元函数，连续不一定可偏导，可偏导不一定连续。
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在(0,0)处x和y偏导数不存在，但在(0,0)处连续。
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在(0,0)处x和y偏导数存在，但在(0,0)处不连续。
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可微定义的两个题目。
请先看懂29楼可微定义。
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题目1
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题目2
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题目1。
连续定义，得f(1,0)。
可微定义。
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下面把可微定义的过程再推导一遍。
注意：
无穷小里面，我忘记加上绝对值了。请以29楼的计算过程为准。
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题目2
连续定义，得f(1,0)。
可微定义。
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下面把可微定义的过程再推导一遍。
注意：
无穷小里面，我忘记加上绝对值了。请以29楼的计算过程为准。
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我来啦

29楼的可微定义，要求极限等于零。
那如果极限不等于零，会怎么样？
下面进行讲解。
请先看懂29楼的过程。
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下面这题选 B，后面给出详细过程。
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已知 A 和 B 是常数。
0/0才有极限。
拆开极限。
连续定义，得连续。
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分左右极限讨论。
偏导数定义。
左右导数均存在，但是左右导数不相等，所以不可导。
所以 x 的偏导数不存在。
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分左右极限讨论。
偏导数定义。
左右导数均存在，但是左右导数不相等，所以不可导。
所以 y 的偏导数不存在。
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大佬🐮

题目
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二元函数的连续性，取特殊路径 y = kx, 极限和 k 有关，所以二元函数f(x,y)在(0,0)处不连续。
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下面看一元函数的连续性。
先确定函数表达式，求出函数的分段表达式。
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将 y 固定为常数，讨论 x 的连续性。
当 y = 0 时， f(x,0) = 0，显然关于 x 连续。
当 y 不等于 0 时， f(x,y) = 2xy/(x²+y²)，显然关于 x 连续。初等函数在定义域内连续。
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将 x 固定为常数，讨论 y 的连续性。
当 x = 0 时， f(0,y) = 0，显然关于 y 连续。
当 x 不等于 0 时， f(x,y) = 2xy/(x²+y²)，显然关于 y 连续。初等函数在定义域内连续。
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