回复：二重极限, 多元函数连续性, 可微定义, 偏导数定义

几个题目
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有界量乘以无穷小量。
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均值不等式。
有界量乘以无穷小量。
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等价无穷小。
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等价无穷小。
有界量乘以无穷小量。
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有界量乘以无穷小量。
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等价无穷小。
有理化。
拆开极限。
约分。
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极限不存在的证明方法：
特殊路径，y = kx，极限和 k 有关。
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这里加上绝对值是为了防止对负数开根号，为了保证极限有定义。
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附上书本截图。
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极限不存在的证明方法：
特殊路径，y = -x + kx²
极限和 k 有关。
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下图令 y = -x +kx²
则极限和 k 有关。
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对前面的式子进行推广。
分母 bx + y 也可以改为 bx - y，不影响结论。
讲解(3)：红色极限存在且不等于零，红色后面那项是无穷大，所以极限不存在。
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如果分子是 x^a * y^c + x^d * y^h ，也就是多项式的加减法。解法类似。分子可以取最低阶的无穷小，将高阶无穷小舍去。只要保证最终极限不存在就可以了。
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用极坐标变换计算二重极限
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在证明二重极限存在时，对θ一致收敛这一条件很重要。
如果没学过一致收敛，那么就不要用极坐标变换来证明二重极限存在。
一般的高等数学，不需要掌握一致收敛的概念，所以在一般的高等数学中，就不要用极坐标变换来计算二重极限。
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当然，你可以用极坐标变换来证明二重极限不存在，这是允许的。
这个时候，就不需要一致收敛了。
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(1) 计算累次极限。先求 x，后求 y。
先计算式子A，在式子A的外部，因为 y 趋向于零，所以 y 是去心邻域，所以 y 不等于零。
在式子A的内部，因为极限变量是 x，所以只有 x 在变化，所以 y 要看成常数，直接代值 x = 0。
求出式子A之后，再计算 y 趋向于零的极限。
(2) 计算累次极限。先求 y, 后求 x。
类似(1)的过程。
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计算二重极限。
取特殊路径 y = kx，极限和 k 有关，所以极限不存在。
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例9的(2)，计算过程和例9的(1)类似，这里不再列出，请自行理解。
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(1) 计算累次极限。先求 x，后求 y。
先计算式子A，极限变量 x 在变化，y 看成常数。
因为 sin(1/x) 极限不存在，乘以常数 y 之后，极限仍然不存在。
所以最终极限不存在。
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(2) 计算累次极限。先求 y，后求 x。
先计算式子B，极限变量 y 在变，x 看成常数。
因为 sin(1/x) 是有界量，y 是无穷小量，所以极限是无穷小量。
所以最终极限是零。

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(3) 二重极限。
f(x,y)的式子一共要分三种情况讨论，不管 f(x,y) 取哪个式子，最终极限都是零。所以二重极限是零。
用到的极限理论：无穷小量乘以有界量。
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不同的条件下，结果不一样。
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分子等价无穷小，去掉sin。
取特殊路径，极限和k有关。
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下图 y >= 0。
分子等价无穷小，去掉sin。
不等式放缩，夹逼准则。
也可以拆开极限，使用无穷小量乘以有界量。y/(x²+y) 在0到1之间，x²/(x²+y) 在0到1之间。
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讲解几个题目。
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ln等价无穷小。
取特殊路径。
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直接代值。
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非零乘积因子直接代值。泰勒公式贴的5到8楼里面有讲解。
取特殊路径。
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ln等价无穷小。
取特殊路径。
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偏导数。
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先求一元函数f(x,0)的表达式，然后用一元函数的导数定义。详细过程见后面的图。
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先求出 f(x,0) 的函数表达式。
显然，他是一个分段表达式。
列出导数定义式子。
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先求出 f(0,y) 的函数表达式。
显然，他是一个分段表达式。
列出导数定义式子。
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分段函数的偏导数。
(x,y) 不等于 (0,0) 时，可以直接使用求导公式。
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二阶偏导数在单点的函数值。用导数定义。
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二元函数的二阶混合偏导数。详细计算过程见后面的图。
如果二阶混合偏导数都在某点连续，则他们的值相等。
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求单点的混合二阶偏导数。
先看懂单点的一阶偏导数的求法，用的偏导数定义。
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有两种解法：
第1种解法：偏导数定义。
第2种解法：求导公式。
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题目
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偏导数定义，先求出f'x(0,y)的函数表达式。
这张图用导数定义，求出一阶偏导数的函数表达式。
二阶偏导数定义。
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这张图用求导公式，求出一阶偏导数的函数表达式。
因为求导公式只能计算 x²+y² 不等于0的偏导数，所以(0,0)处的一阶偏导数仍然要用上图的偏导数定义进行求解。
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偏导数定义，先求出f'y(x,0)的函数表达式。
二阶偏导数定义。
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这张图用求导公式，求出一阶偏导数的函数表达式。
因为求导公式只能计算 x²+y² 不等于0的偏导数，所以(0,0)处的一阶偏导数仍然要用上图的偏导数定义进行求解。
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可微的定义。
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下图最后四行的式子都是等价关系，任意一个成立，则f(x,y)在P0(x0,y0)处可微。
这就是 “可微” 的定义。
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我们还可以得到P0处的一阶偏导数的函数值，f 'x(x0,y0) = A, f 'y(x0,y0) = B。
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下图。
第一行：定义P0(x0,y0)的位置。
第二行：f(x,y)在P0的邻域内有定义。
第三行：Δz 的定义。f(x,y)在P0处的全增量。
第四行：ρ 的定义。
第五行：A和B是只与P0有关的常数。
第六行：带无穷小的等式。
第七行：对上一行移项处理。
第八行：上一行的带无穷小的等式，可以转化为带lim的极限式子，两者表达的含义完全一样。
第九行：代入ρ 的定义。在平时的题目中，经常还会代入 Δz 的定义。
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二元函数可微，可以推出连续。
二元函数可微，可以推出偏导数存在。
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下面的解题过程，需要熟练掌握。
计算偏导数时，使用了两种解法。
第1种解法：列 lim 极限式子。
第2种解法：列带无穷小的等式。
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0/0才有极限。
极限拆开法则。
连续定义。
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因为二元函数的趋近是二维平面内，以任意方式趋向点P(x0,y0)，
所以可以取特殊路径趋近，这里取△y = 0这条曲线(直线)。
蓝色是有界量。
偏导数定义。
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因为二元函数的趋近是二维平面内，以任意方式趋向点P(x0,y0)，
所以可以取特殊路径趋近，这里取△x = 0这条曲线(直线)。
蓝色是有界量。
偏导数定义。
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因为二元函数的趋近是二维平面内，以任意方式趋向点P(x0,y0)，
所以可以取特殊路径趋近，这里取△y = 0这条曲线(直线)。
蓝色是有界量。
无穷小运算法则。
偏导数定义。
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因为二元函数的趋近是二维平面内，以任意方式趋向点P(x0,y0)，
所以可以取特殊路径趋近，这里取△x = 0这条曲线(直线)。
蓝色是有界量。
无穷小运算法则。
偏导数定义。
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