回复：斯托克斯公式, 空间有向闭曲线的第二类曲线积分

一类题目的总结。
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下图的括号里面是题目解法的楼层位置。
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斯托克斯公式转为第一类曲面积分，是最方便的。
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轮换对称性。
R是球的半径。
d是球心到平面x+y+z=k的距离。
r是截面圆半径。
被积函数是1，第一类曲线积分就是周长，截面圆的周长。
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一类题目的总结
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(1)到(6)的解法类似。
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如果有 z，我们优先投影到 xoy 平面。
如果没有 z，有 x，则我们优先投影到 yoz 平面。
如果没有 z，没有 x，只有 y，我们只能投影到 zox 平面。
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注意：
投影到 zox 平面时，z轴是横轴，x轴是纵轴，所以参数方程 z = rcosθ, x = rsinθ
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下图的括号里面是题目解法的楼层位置。
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R是球的半径。
d是球心到平面 z=Ay+B 的距离。
r是截面圆半径。
这里给出一种参数方程的设法。
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下图也是这种题型，参考上面的解法。参考20楼。
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题目
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空间曲线积分与路径无关。
这里直接凑出原函数。
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曲线L： x + y + z = a (a大于0) 在第一卦象和坐标平面的交线。
求这类曲线的三维曲线积分
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11楼的题目的过程再贴一遍。主要是用一下三维图。
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再来两个题目。
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先证明一个结论，这个结论也算比较常用。
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曲面是 x + y + z = a (a>0) 在第一卦象的部分，求曲面积分。
这个曲面是等边三角形，边长是根号2乘以a，面积可以计算。
求x, y, z的积分时，用一下轮换对称性，然后曲面方程代入被积函数。
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如果被积函数是其他函数，那就正常计算。
也就是转为xoy平面的二重积分进行计算。
还可以考虑使用轮换对称性，简化计算。
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上面的第1题。
斯托克斯公式，转为第二类曲面积分，再转为第一类曲面积分。
熟练的话，可以直接使用斯托克斯公式转为第一类曲面积分，不需要用第二类曲面积分过渡，那样更方便。
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上面的第2题。
因为区域在曲线的左侧，又因为左侧是正向。所以曲面方向朝上。
斯托克斯公式，转为第二类曲面积分，再转为第一类曲面积分。
熟练的话，可以直接使用斯托克斯公式转为第一类曲面积分，不需要用第二类曲面积分过渡，那样更方便。
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二重积分的对称性和轮换对称性。
三重积分的对称性和轮换对称性。
第一类曲线积分的对称性和轮换对称性。
第二类曲线积分的对称性。(特殊对称性)
第一类曲面积分的对称性和轮换对称性。
第二类曲面积分的对称性。(特殊对称性)
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题目，这题有点难。
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画出xoy平面的投影。
横轴是 x 轴，纵轴是 y 轴。
红线是球面的投影。也可以认为是上半球面的投影，因为 z 大于等于零。
蓝线是柱面的投影。
由图可知，蓝线没有超出红线的范围。
所以积分曲线在xoy平面的投影曲线就是蓝线。方向是逆时针方向。
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取 y = t, 参数方程。
将蓝线分左右两段分别计算。
将 x, z 用 y 进行表示。
右线的y, 从 0 到 4，x 大于等于零。
左线的y，从 4 到 0，x 小于等于零。
易证：左线和右线的反常积分都是收敛的。
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取球面做为曲面，斯托克斯公式。
第二类曲面积分，dydz和dzdx统一转为dxdy，具体理论见8楼。或者看下图。
这个图里面，dydz和dzdx转为dxdy时，被积函数会出现无界函数，不太严谨。下图会对此进行改进。
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斯托克斯公式中，可以取(1)球面做为曲面，也可以取(2)抛物柱面。
第二类曲面积分的对称性，66楼里面有讲。
第二类曲面积分，dydz和dzdx统一转为dxdy，具体理论见8楼。
红色的积分区域关于 y=2 对称，对称性得零。
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用xoy平面的参数方程。
不过对这题来说，这种参数方程很复杂，不建议使用。
这里为了开根号不加绝对值，所以θ取蓝色的范围。因为逆时针，所以上限大于下限。
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将参数方程代入。
这里分开3个积分，分别计算。
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先看懂上个楼层67楼的解法。
题目和解法都完全类似。
难度也是一个级别的。
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xoy平面的投影图。
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题目重新写一遍。z 轴正向看去是逆时针方向。
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首先，封闭曲线的 f(x)dx + g(y)dy + h(z)dz 的积分一定是零。
这里f(x), g(y), h(z)是连续函数。
简单证明方法：用一下斯托克斯公式，转为第二类曲面积分，被积函数是零。
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上个楼层，蓝线是分左右。
这个楼层，蓝线是分上下。
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类似上个楼层，曲面同样可以设为两种，然后利用对称性。
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楼主 我刚才看了你的帖子 我想请教这个题 他的投影是一个椭圆 面积不太求 答案给的斯托克斯公式直接写出来了面积A

摘自北大数学分析教材--伍胜健
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ok我找到了