回复：斯托克斯公式, 空间有向闭曲线的第二类曲线积分

题目
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解法1：
降维，消去z
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解法2：
斯托克斯公式。
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解法3：
参数方程。
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题目：
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解法1：
降维，消去z
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解法2：
斯托克斯公式。
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解法3：
参数方程。
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此题的曲线是多段表达式，所以曲线的参数方程就不太适用。
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此题是柱面和平面的交线。
这个柱面不含 z ，所以最终要化为 二重积分dxdy 进行求解。
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下面的解法里，转为第一类曲面积分，再转为二重积分dxdy。
或者转为第二类曲面积分，再统一转为dxdy，再转为二重积分dxdy。
或者降维消去z, 然后格林公式，转为二重积分dxdy。
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题目
斯托克斯公式，转为第一类曲面积分，再转为二重积分dxdy
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曲面方程是恒等式，可以代入到曲面积分的被积函数。
第一类曲面积分，投影到xoy平面，计算二重积分。
被积函数是1，二重积分就是区域面积。
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斯托克斯公式，转为第二类曲面积分，再将 dydz, dzdx 统一转为dxdy。
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降维法，消去z，然后格林公式。
这里的 z 代入之后，平方可以不展开，因为格林公式会求导，求导就能化简。
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这题，曲线分段，分别使用参数法。
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曲线在xoy平面的投影。
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曲线AM
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曲线MN
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曲线NB
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上面的过程合并起来。Rdz的积分，刚好可以抵消掉。
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下面的过程是以前写的，把 x+y 用 t 换元，实际上，用上面的过程，直接表示成 dz 就可以了。
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34楼第3题，其他的解法。
34楼是降维，消去z，然后格林公式的解法。
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因为从 z 轴正向看是逆时针方向，所以上限减去下限是2π
这类题目，基本最后是要投影到 xoy 平面的。因为有一个柱面存在。
这里是斯托克斯公式转为第一类曲面积分，再转为二重积分dxdy。
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斯托克斯公式转为第二类曲面积分，再统一转为dxdy，再转为二重积分dxdy
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题目
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对曲线方程进行处理。
使用参数方程进行计算。
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计算定积分。
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题目
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解法1：
降维法，投影到xoy平面。
格林公式，转为二重积分。
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解法2：
斯托克斯公式。
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解法3：
参数方程。
用一下9楼的结论。
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23楼的题型
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斯托克斯公式，转为第一类曲面积分，是最简单的解法。
d是原点到截平面的距离。
截平面是个圆，需要求出半径，才能计算截面的面积。
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viviani曲线
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viviani曲线
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球面和柱面，投影到xoy平面。
红线是球面，蓝线是柱面。
蓝线在红线的内部。
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题目重新抄一遍。
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先计算投影曲线的方向。
投影曲线关于y=0对称，所以不考虑zox平面的投影。
球面在第一卦象和第四卦象，球面朝 x 轴正向，也就是球面朝外侧，所以球面朝上。
球面朝 z 轴正向。
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解法1：
投影到xoy平面，使用参数方程。
9楼的结论用一下。
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解法2：
斯托克斯公式，转为第二类曲面积分。
第二类曲面积分统一转为 dxdy，再转为二重积分 dxdy。
蓝色利用30楼的结论，被积区域关于 x = a/2 对称。
蓝色的上一行，用一下被积区域关于 y = 0 对称，y 的奇函数积分为零。
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顶

题目：
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从 y 轴的正方向看是逆时针，转为从 z 轴的正方向看是逆时针。
解法1：降维。
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解法2：斯托克斯公式。
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解法3：参数方程。
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解法一：参数方程。
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解法二：降维，格林公式。广义极坐标。
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解法三：斯托克斯公式。
最后的点点点看解法二。
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曲面积分的证明题有吗？

一类题目的总结。
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曲线方程如下，圆柱面和平面的交线。这里的柱面垂直于 z = 0
从 z 轴正向看过去，曲线是逆时针方向。（顺时针类似。）
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对下图的曲线，按 x-->y-->z-->x 轮换字母可以得到柱面垂直于 x = 0 或 y = 0，解法类似。
将圆柱面改为椭圆柱面，解法类似。
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详细解法请去下面图里面对应的楼层里面看，解法都一样。
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取 z = Ax + By + D 在圆柱面内部的那个曲面。
因为 z 轴正向看过去，曲线是逆时针方向，所以曲面朝向是上侧。
所以曲面法向量的 z 分量是正数。
下图第五行 n0 是对 n 向量单位化。
因为 z 轴正向看过去，曲线是逆时针方向，所以参数方程从0到2π。
(1) 降维，格林公式。
(2) 参数方程。
(3) 斯托克斯公式，转为第一类曲面积分，再转为二重积分dxdy。
(4) 斯托克斯公式，转为第二类曲面积分，再转为第二类曲面积分dxdy，再转为二重积分dxdy。
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下图的括号里面是题目解法的楼层位置。
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下图的括号里面是题目解法的楼层位置。
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下图也是这种题型，参考上面的解法。
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