回复：斯托克斯公式, 空间有向闭曲线的第二类曲线积分

讲一下曲线方向和参数方程θ起点终点的关系。
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请先把5楼看懂。
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曲线是圆，逆时针方向。
横轴是x轴，纵轴是y轴。
横轴x设为余弦，纵轴y设为正弦，逆时针则θ从0到2π。
横轴x设为正弦，纵轴y设为余弦，逆时针则θ从2π到0。
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当交换纵轴和横轴时，θ需要交换起点终点。
当交换sin和cos时，θ需要交换起点终点。
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当你无法确定θ的起点和终点时，可以取两个特定的点，然后看一下这两个点在曲线上的方向。
例如你可以取θ=0和π/2，然后看一下沿曲线方向走劣弧过去，走的方向和曲线方向相同则起点θ是0，方向相反则起点θ为2π。
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此题，投影到坐标平面时，需要注意曲线的方向和参数方程θ起点终点的关系。
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请先看懂5楼和17楼。
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x 轴正向看，曲线是逆时针方向。
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解法一：
斯托克斯公式。
转为曲面积分。
右手法则，逆时针得曲面为前侧。
曲面是过球心的大圆，并且是一个平面，所以曲面的面积就是大圆的面积。半径为a。
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联立方程，消去y，投影到zox平面。
从y轴正向看，曲线也是逆时针方向。这个楼层后面讲z轴正向看的曲线方向时，会讲到这点。
5楼讲过，要以z轴为横轴，以x轴为纵轴。
以 z 轴为横轴， 以 x 轴为纵轴，则曲线是逆时针方向。
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解法二：
参数方程。
投影到zox平面，然后参数方程。
按17楼讲的，你可以取θ=0和π/2，然后看一下沿曲线方向走劣弧过去，走的方向和曲线方向相同则起点θ是0，方向相反则起点θ为2π。
此题 t 取 0时，在A点，t 取 π/2时，在B点。而曲线是逆时针方向，所以是相反方向，所以θ是从2π到0。
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取x+y+z=0，右手法则，得曲面朝前。所以 x,y,z 曲面法向量都是正数。
所以曲面朝前，曲面朝右，曲面朝上。
所以x, y, z轴正向看，曲线都是逆时针方向。
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上面讲了消去y，也可以消去x或z，投影到其他坐标平面。然后再参数方程。
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xoy平面的投影曲线。
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yoz平面的投影曲线。
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解法三：
投影到yoz平面。降维，消去x，格林公式。
投影曲线为逆时针方向，为正向。
二重积分的换元法，雅可比式，椭圆面积公式。
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楼主你是考研党吗？好厉害，看了几个你的贴，思路清晰，证明明确，实在是高手

此题的平面，投影到xoy平面之后，会退化为一条线，所以不能投影到xoy平面。
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此题的曲线方向，是站在原点的位置上看曲线方向，曲线是逆时针方向。
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因为曲线在原点的右方，所以在原点看，等同于在 y 轴负方向上看曲线方向。
因为曲线在原点的前方，所以在原点看，等同于在 x 轴负方向上看曲线方向。
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此题的解法二和解法三，是投影到zox平面。也可以改为投影到yoz平面。
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题目：
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解法一：
斯托克斯公式。
转为曲面积分。
右手法则，逆时针得曲面指向原点，又因为原点在曲面的左侧，所以曲面指向左侧。
被积函数是1，所以dS是曲面的面积。
球心不在曲面上，所以球心到平面的距离，所截的小圆半径，球的半径，三者构成直角三角形。
代入点到平面的距离公式，求出d，已知球的半径R，可以计算得到小圆的半径r
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投影到zox平面，一定要注意，z是横轴，x是纵轴。
此题的曲线，投影到zox平面之后，是顺时针方向。
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方法二：投影到zox平面。降维，消去y，格林公式。
投影到zox平面，一定要注意，z是横轴，x是纵轴。所以格林公式是Qdz+Pdx
顺时针，格林公式为负。
二重积分的被积函数是1，所以是椭圆的面积。
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方法三：参数方程。
投影到zox平面，然后参数方程。
投影到zox平面，一定要注意，z是横轴，x是纵轴。所以 z 是cos，x 是 sin。
顺时针，所以θ从2π到0
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补上10楼和11楼题目的三维立体图形和二维投影的平面图形。
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从原点看去是怎么看的，和实际方向相反？

18楼，20楼题目的推广：
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球面被平面截得的圆。从z轴的正向看，是逆时针方向。
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如果改为顺时针，或者从其他轴方向看，或者从原点看，请自行推导正负号。
平面x+y+z=k，也可以改为其他的平面。如20楼，只影响方向余弦和距离d。
d是原点到平面的距离。
当平面不过球心时，则有距离d, 小圆半径r, 球半径R构成直角三角形。
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这种类型的题目，用斯托克斯公式转为第一类曲面积分，是最简便的解法，并且解法是通用，是固定解法。
被积函数的dx,dy,dz前面可以推广为px+qy+rz+s，也就是x,y,z的一次项的任意组合。
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例题：
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解答：
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5楼，16楼和17楼先看懂。
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下面讲圆柱面和平面的交线，交线为椭圆。
一般不会出现交线为圆的情况。
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这个楼层，只讲垂直于xoy平面的圆柱面。
这种题目，z 必定是x和y的单值显函数，否则投影到xoy平面会有重点，所以必定是能降维消去z的。
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这种类型的题目，投影到xoy平面，投影是个圆，然后降维，使用格林公式，是较为方便的解法。
当然，投影到xoy平面，然后用参数方程，也是一种不错的解法，这个解法容易掌握，入门简单，但是计算量会大一些，计算量大就会容易计算出错。
而使用斯托克斯公式，转为曲面积分，一般最后一样需要转回到dxdy进行二重积分计算，所以斯托克斯公式在这类题目中，并不是最方便的解法。
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这种题目，因为一般要转为dxdy进行处理，所以需要用到合一投影法，将dydz和dzdx转为dxdy，或者将dS转为dxdy。
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例题
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解法一：
斯托克斯公式，转为第二类曲面积分，然后曲面积分转为dxdy，然后转为二重积分dxdy
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解法二：
投影到xoy平面，降维，格林公式。
被积函数是1，积分是区域面积。
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解法三：
投影到xoy平面，参数方程。
9楼先看懂。
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另一个题目。
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旋转抛物面，可以转为平面。因为交线是同一条曲线。
投影到xoy平面，降维，格林公式。
坐标系平移，对称性得奇函数的积分为零。
被积函数是1，积分是区域面积。
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另一个题目
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投影到xoy平面，降维，格林公式。
被积函数是1，积分是区域面积。
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viviani曲线
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viviani曲线
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球面和柱面，投影到xoy平面。
红线是球面，蓝线是柱面。
蓝线在红线的内部。
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题目
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先计算投影曲线的方向。
投影曲线关于y=0对称，所以不考虑zox平面的投影。
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解法：投影到xoy平面，使用参数方程。
9楼的结论用一下。
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附第一类曲面积分的题目。
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这个求曲面面积的题目，有陷阱，红色开根号要加绝对值。
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题目：
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下图是xoy平面的投影曲线。
横轴是 x 轴，纵轴是 y 轴。
曲线方向：从 y 轴正向到 y 轴负向。
在这个过程中，x 恒大于等于零。
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第一种解法：
补线，构成封闭曲线。
取平面 z = x，z 轴正向看是顺时针方向，所以平面的方向朝下。
斯托克斯公式，转为第二类曲面积分。
曲面积分统一转为dxdy，然后转为二重积分dxdy。
被积函数是1，积分是区域面积，也就是半个椭圆的面积。
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第二种解法：
投影到xoy平面，降维，补线，格林公式。
将 z = x 代入，降维。
补线，构成顺时针的封闭曲线，格林公式前面添加负号。
粉色是 y 的奇函数，二重积分的积分区域关于 y=0 对称，所以粉色积分是零。
被积函数是1，积分是区域面积，也就是半个椭圆的面积。
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第三种解法：
投影到xoy平面，椭圆的参数方程。
顺时针方向确定角度范围。
计算定积分，奇函数对称区间积分为零。wallis公式。
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补13楼的立体图形。
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几个题目，这里用降维法。消去z.
平面和球面的截线，平面和圆柱面的截线。
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第一题。先看懂28楼。
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先看懂28楼。
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先看懂24楼。
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先看懂24楼。
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题目：
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解法1：
降维，消去z
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解法2：
参数方程。
用一下9楼的结论。最后一行里面，积分为零的项在被积函数中省略了。
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解法3：
斯托克斯公式。
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解法1：
降维，消去z
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解法2：
参数方程。
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解法3：
斯托克斯公式。
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题目
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先把 x 轴正向看逆时针方向，转为 z 轴正向看逆时针方向。
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取平面的法向量。
因为 x 轴正向看是逆时针方向，所以平面朝前。
所以取n1
所以平面朝上。
所以 z 轴正向看是逆时针方向。
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解法1：
降维，消去z
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解法2：
斯托克斯公式。
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解法3：
参数方向。
先将 x 轴正向看逆时针，转为 z 轴正向看逆时针，过程上面有写。
因为 z 轴正向看是逆时针方向，所以角度的上限大于下限。
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