第五章 旋转变换
5.1欧氏几何下的旋转变换
5.2双曲函数与虚数三角函数
5.3双曲函数形式的洛伦兹变换及旋转变换
5.4虚角三角函数形式的洛伦兹变换
5.5闵氏复时空下的旋转变换
5.6复时空上的双曲校准线
5.7 虚角作为变换参数下的一个实例
5.8虚角与间隔度量的弧长
5.9速度合成











The End

还以为是挖坟呢

赞同楼主的观点，事实上我认为所谓的“双曲校准线”就是复空间上的圆。因为它满足圆的定义：到定点的距离等于定长的点的**；并且有圆的除了周期性以外所有性质。双曲线只是它映射到R²上（画到纸上）的像，并不是在复空间中的本体。
指出楼主的文章里一点小错误，图5.5.2中的两个带方向的角∠xOx'和∠tOt'应该是相等的，而非相反数关系。理由如下
∵∠xOt=∠xOx'+∠x'Ot'+∠t'Ot, ∠xOt=∠xOx'=π/2
∴∠xOx'=-∠t'Ot
∴∠xOx'=∠tOt'
当然严格的方法是用三角函数推出来，证明中用的∠xOt=∠xOx'=π/2也是用三角函数得到的。
我大学的毕业论文说的也是相同的观点，相似的内容。我事先并不知道居然有人和我想法相同，今日见楼主帖子真是大喜过望。改日我也将我的论文贴出，期望与楼主进一步讨论。

谢谢你认真阅读本贴。至于你说5.5.2图的那两个角，那是虚角三角函数定义的角，所以它绝不是能用π/2这中形式来表示的。
tan(ia)这种形式（假定a是个实数），是个虚数，其中a若是正负无穷大，那对应的是光的世界线。由于ia是虚数，tan(ia)也是虚数，所以那两个角一定是相差一个符号。
由于，而类时间隔是虚数，类空间隔是实数，在a>0的情况下，这两个角一个是类时间隔与类空间隔的比，所以角度是个正的虚数，另一个是类空间隔与类时间隔的比，所以角度是个正的虚数。
另，关于究竟是一个圆还是双曲线，我还是坚持不能说成是园。当然，从复时空角度，说它是个圆，作为一个名词，也无所谓。但是要是画到纸面上，那就决不能是个圆。最重要的原因就是你说的虚角三角函数不是个周期函数。既然不是周期函数，如何能在几何上是个闭合个圆呢？或者我这样问，若是旋转角度是无穷大，那对应到“圆”上，又该如何解释呢？


上面有一句话有笔误，对不起，改过来：
由于，而类时间隔是虚数，类空间隔是实数，在a>0的情况下，这两个角一个是类时间隔与类空间隔的比，所以角度是个正的虚数，另一个是类空间隔与类时间隔的比，所以角度是个负的虚数。

两个角一个是“正虚数”另一个是“负虚数”这是同样逆时针的情况下的结论，而你图中却是一顺一逆，所以符号应该相同。
这个平面上的角并非都是纯虚数。当角跨过了光的方向，角的实部就不是0。下面举一例



我们分歧还是很大的，不过不要紧，有兴趣可以慢慢来。
首先，我这里，在复空间，虚数角是用双曲线的间隔线长定义的，类似于圆的弧度角是单位圆周上的弧长对应的角度是弧度。（注：对于x轴与x'轴的旋转角，比较容易定义，对于t轴和t'轴的旋转略有点复杂，这里暂时回避这个问题。稿子中也暂时回避了这个问题。）
以x轴的旋转变换为例，其双曲校准线是类时的，所以一段弧长对应的角度也是虚数角。我这个文稿中，角度采用虚数，没有实部，只是个纯虚数。x轴的旋转也不能超过光的世界线，这是因为：
1，从数学上说，x轴的旋转，其角度ia(注：a是实数)，a等于正负无穷大对应着光的的世界线，所以无论怎样旋转，x轴都不会跨越光的世界线。
2，从物理上说，x轴的旋转，也不可能“跨越”光的世界线，因为那样，意味着空间轴变成了时间轴(由类空的变为类时的)，同样it轴也不能“跨越”光的世界线，因为那样时间轴变成了空间轴（类时的变成类空的），意味着粒子的速度超过光速。物理上这也是不允许的。而虚角三角函数本身也不会出现这个情况。我这个稿子给出了虚角三角函数的性质，以及函数图，可以参考。
可以以tanh(ia)为例，a=正负无穷大，意味着相对速度v=1，(对于x轴的旋转tanh(ia)=1or=-1)而c=1or-1。也就是说，时间0处的光的世界线和x的夹角是“无穷大”，打个引号是因为是个虚数的无穷大。
我这几天出差在外，酒店网速很慢，所带的笔记本也太老，回复会很不及时，望见谅。


我们都在使用t三角函数，就等于承认了一个前提：那些三角形是直角三角形。
如果不定义直角，那么LZ的三角函数又何以立足呢？
与光线夹角无穷大，x轴旋转永远不会越过光线，但这不妨碍跨过光线的角度在数学上定义。
LZ认为角度应该是纯虚数，但这只是一个结论，并不是第一性的原理。基本的定义是两个坐标轴一实一虚。于是得出了不跨越光线的角是纯虚数。不能推广到所有角上。
用弧长定义角度只适用于平直空间，并不能推广到非欧空间，所以并非最好的定义。
我认为最好的定义是两个矢量的夹角=arccos（矢量内积/矢量模的积）只要有了度规，矢量的内积和模就有了定义，角度也就有定义，可以推广到任意流形。这样x-t平面中任意两个方向之间的角包括纯虚角、复角、直角、平角、周角、无穷大角都有了定义。
就算非要用弧长定义，在完整的复空间（我们讨论的空间x只有实数坐标，t只有虚数坐标，并非完整的复空间，完整的二维复空间中x和t都有复数坐标）中用弧长定义的角也和上面的方法所定义的角相等。