模8意义下显然

我明白了，这个1可以是1的n次方，如果n是偶数，用平方差提取，可以提(9-1) ，如果是奇数，可变成n=3+m 把它分成两个同项指数的乘积，可用立方差公式，也可提（9-1）因式，因此，无论n是奇是偶都有公因数8，因此能被8整除

二项式

设y(b)=(a+1)^b。(a，b为正整数)。
b=1时，y(1)=(a+1)^1=a+1=1+a(a+1)^0。
此时y-1=a，能被a整除
b=n(n>1)时，y(n)=(a+1)^n=(a+1)*(a+1)^(n-1)
=a*(a+1)^(n-1)+(a+1)^(n-1)
∴当n为正整数时，有y(n)=1+Σ[a*(a+1)^(n-1)[1，n]。
y(n)亦可变型为y(n)=1+a*Σ(a+1)^(n-1)[1，n]
∴y(n)-1=a*Σ(a+1)^(n-1)[1，n]
此式必能被a整除。
将a=8，b=n代入，
可得9^n-1=y(n)-1=8*Σ9^(n-1)[1，n]
∴(9^n-1)/8=Σ9^(n-1)[1，n]
当n为任意正整数时，9^(n-1)为正整数
∴。。。

了解一下初等数论模运算的相关知识易证

9ⁿ-1=9ⁿ-1ⁿ=(9-1)(9ⁿ⁻¹+9ⁿ⁻²+...+9+1)
=8(9ⁿ⁻¹+9ⁿ⁻²+...+9+1)，显然
8丨8(9ⁿ⁻¹+9ⁿ⁻²+...+9+1)=9ⁿ-1

数学归纳法秒了

显然9ⁿ-1≡1ⁿ-1≡0(mod 8)

二项式定理

同余定理幂运算：a≡b（mod m）→a^n≡b^n（mod m），取a＝9，b＝1，m＝8，9^n≡1（mod 8），9^n-1≡0（mod 8）

不用二项式定理，数学归纳法，n=1时成立，设n=k时成立，即（9^n）-1=8m，所以9^n=8m+1
当n=k+1时
9^（n+1）-1=9×9^n-1=9×（8m+1）-1=72m+8
它显然是8的倍数，由归纳法原理，证毕

用9进制，则9^n可以写成10...0共n个0，9^n-1=8...8共n个8，显然可以被8整除

最简单的方法：数学归纳法

参考等比数列求和公式