你可以把代数定义当成唯一的，最初的定义，由此推导出几何意义。

但是课本用向量证明了两角差的余弦公式，这在ai的证明中用到了。于是问了一下不用向量的证明。
所以课本上用向量证明的定理，是可以单独推导出来，他们可以辅助得出向量点乘的定义。

在一本教辅上得到了一些启发，我自己试了一下。发现确实可以用数量积的几何定义推理出坐标表示。但是，课本用的是基底来计算的，得出的向量的数量积的表示，这好像不需要几何定义就可以得到，而且简洁很多，这是为何？

如果你是个高中生，先用结论，这个要追溯到能量，功，四元数，

甚至在网上你也难以找到本质的解释

欧氏空间内积定义是基石，别的定理公式是由这个推出来的。搞清这个逻辑关系

你先用着吧，这东西本质上是内积，只是在欧式线性空间上表现为你看到的数学形式，在希尔伯特空间和闵可夫斯基空间里还有别的表现形式，但本质都是内积

点乘的几何意义在高中你可以简单理解为投影

高中书上说的比较杂糅，比较粗浅。按照物理和数学的发展过程，内积确实是从功抽象出来的，但是后面数学上为了构建严格的代数理论体系，给出了抽象层面的，不依赖于任何现实量的定义。换句话说单纯赋予一个集合一些额外的运算性质，拓扑性质，就可以从底层逻辑上得到各种代数结构和运算。将这些底层规则运用到各种现实模型中又可以系统性地得到各种依赖于内积定义的物理量/数学量。这块内容等你以后再学吧。现在的课本顺序是符合人的认知规律的，螺旋式上升。毕竟不可能先学皮亚诺公理再学加法

两角和差公式的证明在08年的四川延考卷是当做大题考的（忘记为什么启用备用卷了，好像是地震）

BV1QawbehELC，看看这个，或者搜索内积

我可以用我大学数学老师的一句话
"线性空间是数学家的伟大创造……，而点乘是物理送给数学的礼物"
所以说确实是物理有对功的需求才有的点乘

点积是内积的一种，内积有无穷多种，只要按照内积空间的规则定义都可以，点积可以说是最简单实用的一种，原因就是能用来算功以及类似的东西，实用性很高，所以你说的这个靠功得出来的也有道理