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4x+1素数的一个问题

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问题1:p是某个4x+1型的素数,a是小于p的正整数,则必有一个b(b<p),满足p能整除a^2+b^2。其实b可以是两个正整数。
问题2:p是某个4x+1型的素数,n是任意的正整数。则有无数多个m,满足p能整除m^2+(m+n)^2。
举例说明:
5⎮1^2+2^2,5⎮1^2+3^2.
5⎮1^2+(1+1)^2,5⎮1^2+(1+2)^2,5⎮3^2+(3+3)^2,5⎮2^2+(2+4)^2,5⎮5^2+(5+5)^2.


IP属地:安徽来自Android客户端1楼2025-01-15 10:03回复
    我证明了4x+1型的p,都能整除a^2+(a+1)^2,然后就想到这个问题。对不对就不知道了


    IP属地:安徽来自Android客户端2楼2025-01-15 10:09
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      2025-08-11 03:52:17
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      第一个问题我知道怎么证明了。


      IP属地:安徽来自Android客户端3楼2025-01-15 10:21
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        第2题可以用恒等式2[m²+(m+n)²]=(2m+n)²+n²来证明
        对被p整除的整数n, 只要取m为p的倍数就符合要求
        对任意不被p整除的整数n, 先用第1题的做法找到正整数k<p使得p|k²+n², 则p|(k+p)²+n², k和k+p总有一个和n奇偶性相同, 相同的那个设为n+2m', m'是整数
        则p|(n+2m')²+n², 所以p | 2[(n+m')²+m'²], 因为p是奇素数, 所以p|(n+m')²+m'², 那对任意整数t, p|(n+m'+tp)²+(m'+tp)²都成立, 所以取m=m'+tp就符合要求, 这样的m有无穷多个


        IP属地:安徽来自Android客户端4楼2025-01-15 10:52
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