回复：Zorich数学分析打卡

E上有界则有上确界，∀x∈E（x≤supE）∀ε＞0 ∃x₀∈E（x₀＞supE-ε），故x₀∈（supE-ε，supE]，Nε（supE）\supE=（supE-ε，supE）∪（supE，supE+ε）∩E=至少是{x₀}≠∅，则supE∈E'。如果E是闭集则，supE∈E'⊂E。

第六张图，F⊂K⊂X，K是紧集，F在X里闭，证明了F紧，K作为度量空间X诱导的一个子度量空间，由于度量空间的紧子集是闭集，所以F自然在K里面闭。这里我们注意F在X里闭，K是闭，所以F∩K是闭，由于F∩K⊂K，所以F∩K是紧集。

最后K_n⊃K_{n+1}，所以任意有限交不空，不过普通的数学归纳法不是很好推广到无限，所以根据之前任意有限交不空的得到任意交不空，这里再考虑逆否命题发现得到一个矛盾，这个构造再用数学归纳法还是有一点技巧。

我们这样子定义了蕴涵式子之后，也会容易发现逆命题和原题的真值没有关系，实际上，反证法是要公理的，是经典逻辑框架下的三大定律①同一律②排中律③矛盾律。而且大部分的数学家的工作都是在经典逻辑下的，不做数理逻辑其实不是很重要，

罗素悖论的一个问题是为什么S∈S，其实考虑S={S}就好了。

最后一个是迫敛性，所以有diam_K→0，所以K只有一个点，与前面的假设矛盾。另外补充于品老师对极限的看法

这本书上这两个定理写得还是很清楚，我们把Cauchy sequence用了diam E_N→0刻画，由于diam E_N=diam E_N的closure，注意E_N是closed，compact metric space 上的closed set 是compact set，接着用了一个子集于是closure子集的推论（考虑补集以及内点集即可），所以发现这些集合的有限交集是非空的，所以任意交集是非空的，且交成单点集，再刻画diam E_N的closure→0，任意这里面的任意两个点会任意靠近，那就考虑之前那个单点集，所以又回到了收敛的定义。我们可以证明Cauchy sequence一定是bounded，这是上一楼的结论，我们是就把m考虑成N，再去量d（p_N，p_i）（1≤i≤N-1），再考虑后面所有已经被控制的项，用取大函数保证都成立，因为k-cell是compact，并且有界集实际上可以被一个k-cell包住，那么在R里头确实是有Cauchy sequence是convergen！

otherwise 是说作一个否定，就是所有的N都有s_N≤s-ε，这与s是range of｛s_n｝的sup矛盾。事实上，这个其实也算是实数的完备性公理，是说确界原理与单调有界必然收敛定理等价，我们在后面也会进行一个重新的证明，有十几条定理都与确界公理等价，你可以选取任意一条作为实数的完备性公理。注意收敛不一定单调，但是一定有界，例如1+\frac｛（-1）^n｝｛n｝。

第一个定义其实很直观，不管取什么实数M，总会有s_n的项比它大，另外再刻画一个趋于无穷就好了。陈纪修对上下极限是这么解释的，“考虑级数的敛散性往往要考虑某些数列，但是不一定会收敛，所以你要自然提出一个比收敛要弱的条件”。所谓上下极限就是我们对序列的极限点取了考虑了上下确界，简单去讲是对子列极限考虑了上下确界，这个notation其实说起来不如自然陈述简单。对于一个不收敛的序列，它可能在乱跳，可能是无穷，你想更具体描述它的变化所以考虑它的子列极限是自然的，深入的考虑子列极限构成的集合性质也是自然的，前面的定理告诉我们构成了一个闭集。【图片】【图片】【图片】

这个东西用上一个帖子的结论就行了s_n≤t_n≤lim sup{t_n}+ε，类似的也有lim inf，附上Zorich上的很有意思的东西，注意这个是有默认完备性的！

下一个就是级数了，它本身就是一个数列，所以数列的结论可以直接搬的级数里面。所以值得我们思考的是，为什么要考虑级数呢？因为级数可以表示一些无理数甚至超越数（之前于品用级数表示π/4），但是简单的数列不能考虑吗？事实上这个问题的答案就是级数的求和，很多求和都是不封闭的（非初等），你可能要引入各种特殊函数，甚至有些是open problem！另外书上大部分的证明已经写得很清楚了，不需要再多写，主要是用它干什么事！这一章就差不多可以结束了。