顾名思义，七阶三角形镶嵌就是七个正三角形围绕一个顶点。可以用纸板来自己做一下模型，做好后会发现它既不像球面镶嵌（比如说正二十面体）那样向同样的方向蜷缩成球形，也不像平面镶嵌（比如说正三角形镶嵌）那样板板正正的，而是会变得凹凸不平，松松垮垮的。（就像图二那样）

存在于双曲空间（这是二维）上的妖孽图形：无限阶无限边形镶嵌，即是无限个无限边形围绕一个无穷远的顶点。说实话我也想不通它是怎么构造的

还得介绍一下上边几个双曲镶嵌的图形模型：它们并不是画在一个有限的圆周上，而是这个“圆周”的边缘是无穷远的，它叫做“庞加莱圆盘模型”。所以双曲（罗氏）空间和平直（欧氏）空间都是无穷大的，而且某种意义上双曲空间比平直空间还要更“大”。(动图是无限阶三角形镶嵌)

10.双曲镶嵌：五阶四边形（正方形）镶嵌，每个顶点围绕四个正方形刚好是360度，所以是平面镶嵌；可如果是每个顶点围绕五个正方形呢？那就变成了双曲镶嵌。游戏“双曲番”使用的就是这个模型。

五阶四边形镶嵌的纸模型，图片来自于数学百科。

为此，我就很好奇如果在双曲面上玩文明是什么样的。不过这就带来一个难点：双曲面的小地图不好做，这一点球面地图也一样。（图为游戏HyperRogue，但地图并不是五阶四边形镶嵌）

11.双曲镶嵌：四阶五边形镶嵌。和五阶四边形（正方形）互为对偶，所谓对偶就是把一个多面体（或是镶嵌）的面变成顶点，顶点变成面。它就是双曲镶嵌“自由”的证明？因为五边形这种东西，在平直空间里连半正镶嵌都用不上……

12.双曲镶嵌：四阶六边形镶嵌。发现了吗？球面和平直做不到的，在双曲上找找，没准就有了……

13.双曲镶嵌：三阶七边形镶嵌。它应该是非常具有代表性的双曲镶嵌，因为七边形这个玩意在球面和平面镶嵌上貌似非常少出现（或者说没有出现过？我不太确定）。

14.双曲镶嵌：三阶八边形镶嵌。说实话正镶嵌已经到头了，再往后的结构别说难以用在游戏中，就是画出来都逐渐困难了。（可以看到单个图形在庞加莱圆盘中的“占比”越来越大）

图为八阶三角形镶嵌、九阶三角形镶嵌，越来越密集，越来越“恐怖”了。

图为四阶八边形镶嵌，五阶八边形镶嵌，可以看到光一个图形就已经无比“巨大”了。

九边形的镶嵌图我还没找到

正镶嵌就差不多到这了，下面是一些半正镶嵌。1.截角二十面体，也就是俗称的足球。

截角二十面体也是明星模型，有球面属性的游戏，或多或少都会涉及它。比如说HyperRogue里的Halloween模式、和截角二十面体有千丝万缕联系的戈德堡多面体：