求助极限问题

sinx分之一，在趋于0的情况下是震荡的，存在分母为0的情况，没有定义

前两天刚有人问过

好的👌

xsin(1/x)→0,假如把分子等价成xsin(1/x)的话,那么极限就是1了。
函数在某点的极限的定义是函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意ε＞0,总存在δ＞0,当0＜|x-x0|＜δ,始终有|f(x)-A|＜ε,那么lim(x→x0) f(x)=A。它要求必须在x0的去心邻域内有定义。
这里x0=0,而注意到当x=1/kπ(k属于Z)的时候,xsin(1/x)=0,k→∞,x=1/kπ→0,所以无论k取何值,x=1/kπ取得有多么小,在0的去心邻域内始终有无数令分母没有定义的点,所以不符合函数极限的定义,函数极限的定义要求函数在x0的去心邻域内有定义。这题不能满足在0的去心邻域内有定义的条件,所以极限不存在

正确做法是用夹逼准则

极限的趋于而不等于和分母不等于0是定义，甚至是原则

等价无穷小替换不能为零

不能等于，那一步换成向左推导可以

第一，因为这步等价无穷小是复合式的等价无穷小，极限的复合需要内层函数满足某个空心δ邻域内≠0。而这个等价无穷小里面那层不管δ怎么小都有1/(n*pi)不符合，所以不可以用复合极限，没法等价过去。
第二，按正常的定义，上面提的那一系列点使得函数整体连个无间断点的空心定义域都没有，所以不存在极限。
第三，按聚点……的那套定义，第二点不是问题。此时取绝对值然后先对外层的sin用sinx≤x，然后再对剩下的内层的sinx用≤1，最后只剩下个单独的|x|→0了

滤子基呗

x分之一不趋近0吧

理论上来说，等价无穷小是要做除法才能判定的，而如果趋近于极限点的时候无穷小本身会出现0, i.o., 那就没法做除法，就不能叫等价无穷小。但技术上来说，这种现象是可以用手段规避的