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从一个考单调性定义的题,我想了一些变式问题

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1.原题是判断对错:设f(x)的定义域为R,若对任何x∈R,f(x+1)>f(x),则f(x)为增函数
变式:
2.判断对错:设f(x)的定义域为R,若对任何x∈R,f(x+1/2)>f(x),f(x+1/3)>f(x),则f(x)为增函数
3.判断对错:设f(x)的定义域为R,若对任何x∈R,f(x+1)>f(x), f(x+√2)>f(x),则f(x)为增函数
4.判断对错:设f(x)的定义域为R,若对任何x∈R和正无理数a,f(x+a)>f(x),则f(x)为增函数
最近忙,上线时间不确定。。


IP属地:广东1楼2023-12-18 19:39回复
    暖贴.题2可简易构造反例,题4可证.题3容我想想


    IP属地:陕西来自Android客户端2楼2023-12-18 19:47
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      2026-01-16 23:13:13
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      证题4:对于任意x∈R和正有理数q∈Q,存在无理数a∈(0,q),注意此时q-a亦为无理数,由题设f(x+q)-f(x)=[f(x+q)-f(x+q-(q-a))]+[f(x+a)-f(x)]>0+0=0.
      综合题设,对于任意x∈R,ε∈R*,f(x+ε)>f(x)


      IP属地:陕西来自Android客户端4楼2023-12-18 20:03
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        题3反例也容易构造.是那种根号2长区域内的图像不断重现,但靠右区域函数值下确界永远抬升至大于靠左区域函数值上确界.
        同一区域内,函数在1长度上递增,而后慢递减,使x∈(x0+1,x0+根号2)时,f(x)>f(x-1)即可.


        IP属地:陕西来自Android客户端5楼2023-12-18 20:10
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          第3小题,当x为无理数时,令f(x)=x+0.49√2,x为有理数时,令f(x)=x-0.49√2
          则x+√2为有理数x为无理数时f(x+√2)=x+0.51√2>x+0.49√2=f(x),除此以外的情况也都符合


          IP属地:北京来自Android客户端6楼2023-12-18 22:05
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            右控点应该算是快被抛弃的概念了,很多书都没提及


            IP属地:山东7楼2023-12-18 23:17
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              定义f(x)=x,x∈A,其它为x-1,1和2中,A=Q(或者Z和Z/6),3中A={a+b√2|a,b∈Z}。


              IP属地:湖南来自Android客户端10楼2023-12-19 12:51
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                大佬好久没看见你了


                IP属地:浙江来自Android客户端11楼2023-12-22 19:34
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