回复:回复:突然心血来潮来出个好题,数学,集合相关

@33: 对，我知道这个，但这有什么意义呢？我们的问题是，(0,1)内的情况，请注意条件

@33: 我可以证明(0,1)内的有理数和有理数等势，而且(0,1)与R等势，但是如何证明(0,1)内的无理数与无理数等势？

回复：35楼
没必要证明，只要证明它不可数就好了。
一定要证明的话，就这样(欢迎钧神等拍砖)
假定（0，1）的无理数是可数的，也就是可以排成这样一个与N*形成双射的序列
k1,k2,k3,...ki属于(0,1)
将(0,1)分成三个区间(0,1/3],(1/3,2/3],(2/3,1)，k1必定落在其中的一个区间，其中有两个区间必定没有k1,不妨设第一个区间I1=(0,1/3]不含k1。那么，再将I1按照上面的办法三等分，必然存在一个不含k2的区间I2,依次类推，我们得到不含的ki的区间Ii，也由此得到这样一个包含列：
I1>I2>I3>....（">"代表集合的包含符号，我不会打，不好意思）其中ki不属于Ii，Ii的区间长度是1/(3^n)，当i趋向无穷,Ii的区间长度趋向0，根据嵌套定理，必然存在x属于Ii,i属于N*。
由于我们的假定，x在序列中，x必然是某个kn，但是由构造的过程知道，这是不可能的。所以(0,1)的实数是不可数的。
(0,1)有理数是可数的。而可数集的并一定是可数集，(0,1)是不可数集，因此(0,1)的无理数集必定是不可数集。


呃，我错了，我在35L的两个条件已经可以证明(0,1)内无理数不可数了……

@36: 不过你并没有证明无理数集和(0,1)间的无理数集等势……

回复：38楼
36L证明了(0,1)无理数不可数。33L的方法可以证明(0,1)有理数可数。
证毕。

@39: 我知道你证明了在(0,1)内无理数优势于有理数，但这并不能证明这个区间上的无理数集同整个无理数集等势啊

回复：40楼
。。。。freemrain在1L没有问这个（他只问了(0,1)有理数多还是无理数多）。。。。所以我就只证明了(0,1)内无理数优势于有理数、、、、、

@41: 你在36楼头两句话的意思结合上下文，显然就是说明你要证明两个等势……

有点晕……

36L：
“当i趋向无穷,Ii的区间长度趋向0，根据嵌套定理，必然存在x属于Ii,i属于N*。
由于我们的假定，x在序列中，x必然是某个kn，但是由构造的过程知道，这是不可能的。”
这里交代的含糊了点 感觉可以进行这样的理解
#1：对任意 i属于N*，确实存在x属于Ii ，但x是某个kn并不是不可能的
可以令x=k(i+m)，m属于N*
“当i趋向无穷”之后感觉把人搞迷糊了，但我似乎觉得#1并没有什么变化
另外，如果36L是对的，感觉在（0,1）的有理数集上也可以进行相同的操作，我是从这点开始想的。

..(0,1)内无理数外测度1,有理数0,从外测度定义得到无理数比有理数多...
才刚刚了解测度，还不知道无理数外测度怎么算的...

不对...这跟等势是两码事..我错了..T T

完全看不懂的爬过。。。