二楼预备

在古希腊时代，几乎数学和物理同时开始了它的起源。人们对自然界开始了朴素而感性的认识。在彼时，显而易见，数学和物理并不发达，人们对自然界的认识充斥着神秘主义的看法。一个有趣的问题是，古希腊究竟有没有真正的物理学。古希腊有一些朴素的物理学观点，例如亚里士多德就曾经提出，重的物体下落更快。在某种程度上，这更像是一种哲学观点而非物理观点——因为它没有真正地涉及到下落的具体快慢的问题。当然，我们可以说定性也是物理的一部分。但是把它归类为哲学，似乎也是毫无问题的。

众所周知，古希腊的研究成果主要集中在几何学上，而运动学也是物理中最容易被认识的现象之一。古希腊给出过很多伟大的结果，例如测定地球半径、测定地月距离。我不知道它算不算物理学，反正肯定不算数学。这一时期最重要的成果还是对神灵鬼怪和自然决定的认识。这个时期，数学、物理和哲学可能是完全混杂在一起的。

简单地回顾了最早的物理和数学之后，让我们回到最晚的物理和数学的观点，也就是当代的观点。当代的物理和数学在很大程度上已经被完全区分开了。在这里我不得不提到非欧几何的引入。非欧几何是非常不符合人类直觉（或者说经典力学）的几何，但是，自黎曼之后，人们就开始普遍接受非欧几何了。这一过程远比黎曼几何在相对论中发扬光大要早得多。我将之视为人类数学和物理的一个分界的里程碑。自此之后，数学里的很多概念不再被物理所束缚，而物理很多时候得以利用大量的超前的数学观点来充实自己。

请允许我简单介绍一下当代的数学。当代的数学是布尔巴基（Bourbaki）的数学。也就是说，数学被视为是研究一种结构的逻辑体系。我们以当代的几何学为例。当代的几何学被认为分为四个档次。其中结构最少的几何称为拓扑（拓扑流形、代数拓扑也是其中一部分），这上面只能谈论连续之类的对象；结构稍微丰富一些的称为微分几何，在这上面可以谈论求导之类的操作；结构再丰富的称为黎曼几何，在这上面可以谈论度量（通俗地说就是长度）；结构最丰富的就是复几何和代数几何了，在上面可以谈论代数对象。

这类数学和物理的分歧是从哪里开始的呢？应当是从微积分开始的。虽然牛顿和莱布尼茨创造的微积分理论极大地丰富了人们对数学和物理的认识，但是我们知道，这个伟大理论的基础是很不牢固的。我们暂且不提贝克莱提出的“无穷小的幽灵”这个纯数学的悖论，我们来关心一些更为物理的问题：
在牛顿力学的框架下，考虑一个1 kg重的物体，它在0~1 s内受到一个水平向右的力的作用。这个力在有理时间点大小为1 N，无理时间点大小为0 N，试问它在1 s时的速度是多少？

对微积分很熟悉的人很快就意识到，这是一个对时间积分的问题。但是我们发现，这个被积函数，就是臭名昭著的狄利克雷函数，它在0~1 s这个区间内不是黎曼可积的。这就是一个很坏的结果，意味着我们不能预料它的状态。
熟悉积分理论的人很快就能提出，它在勒贝格积分的意义下是可积的。的确如此。不过，世界上依然存在着并不勒贝格可积的函数（假如你承认选择公理的话），我们一样可以造出这样一个力，那么这个力应当如何处理呢？
问到这里，我们转头看，我们发现解决这个问题居然依赖于提升积分理论，这对于物理学无疑是很难接受的。换言之，这个物体会怎么运动，黎曼是无法计算出来的，但是勒贝格是可以计算出来的，这不和我们一贯坚信的自然世界存在客观规律相矛盾了吗？

当然有人就会说，根据现在量子力学的研究，时间是不能被无限细分的，存在一个最小的普朗克时间。那么，如果时间本身是离散的，为什么我们会用连续的微积分模型来模拟这个问题呢？
这就是牛顿的时代面临的一个巨大问题：牛顿力学本身蕴含了对时间和空间的连续性和完备性假设，但是在这些假设下我们可以造出来很多稀奇古怪的、无法用牛顿力学解决的问题。这些问题在当时并未得到重视，原因自然是比它还大的问题多得多（比如无穷小的幽灵），而且现实模型也不太需要考虑这种遇不到的情况。

但是，矛盾就此发生。自牛顿之后，数学界在一定程度上便和物理界分道扬镳。在此后相当长的一段时间内，一部分数学家们致力于完善分析学的基础，另一部分数学家（也可以称他们是物理学家）却坚持在这个并不牢固的基础上发现更多新的东西。正是在不断的基础研究中，数学家们发现了越来越多的奇怪模型，进而演变出当代的结构主义观点。此后的物理界在相当的程度上肯定了某些模型的作用，并且用它来完善未来的物理模型。

最后，我来提一提数学和物理界仍然相通的一个观点，即世界是简单的。两者都会竭力地发现一些不同的现象中蕴含的类似的结构，进而用一种统一的理论总结。这是数学和物理发展的最大动力。正如（不太懂数学的）物理学家们很难想象线性空间、线性变换和群有什么共同点，（不太懂物理的）数学家们可能也很难想象电磁相互作用和弱相互作用有什么共同点。但是它们的的确确地都推进着各自学科的进步。
本系列的目标是梳理人类历史上数学和物理从混为一体到区分开来的过程。但是基于上述的共同点，它们又会不可避免地有很多重合的地方。也许这才是这两个人类最辉煌的学科伟大的地方。