使用粉色表示红色螺旋的覆盖，如下图。所有的点都在红点的覆盖之下。由于白色空白 的厚度为 3，是一个狭窄的螺旋状路径，因此实现红色点的全覆盖，并且消除黑色点围成的 三角形是很简单的。

还记得我说过不战而屈人之兵吗？到现在，四着色已经完成了。两个螺旋的复杂度分别 是黄色点的数量和红色点的数量，它们的和少于总点数 n，目前的复杂度是绝对的 O(n)。
我们把红点和黄点全部抹掉。会剩下什么呢？显然，没圈。蓝绿相间着色即可。如下图。

复杂度 NP 难的四色定理，在 O(n)被完成了。这就是结构重组的威力。甚至，我们没有 猜测，一切都是确定的，没有换色，没有使用可约构形，并且一步到位。
如果不使用“双螺 旋统一化”，而是尝试用其他方法四着色，复杂度不可能是 O(n)。明确的说，这样的复杂 度是不可能被超越的。毕竟，n 个点总是要 n 次着色的。

下面再给一个超级复杂的例子。这个构图跟梵高的夜空相似。 你可以自己尝试一下。

3、完备性分析
1、黄色螺旋无漏点
黄色螺旋是黄色点的覆盖的简化。
假如存在点没有跟黄色点相连接，就是黄色螺旋在以某个黄色点为轴做螺旋的时候，漏 掉了这个点。违返了“向同一旋转方向尽量螺旋”的原则，破坏了尽量多的下黄色点的战略 意图。

2、红色螺旋无漏点
红色螺旋是红色点的覆盖的简化。
假如存在点没有跟红色点相连接，如下图补救

在实际算法里，红色点的覆盖是我们红色螺旋推进的依据。本文中只显示红色螺旋，只 是为了显示红色点的链接情况，做了展示性的简化。红色螺旋需要处理的情况比黄色螺旋要 复杂，因此实际螺旋的时候，是以意图为导向的。具体到链接的形态，必须根据情况调整。 我们上面例子里就有很多红色螺旋的形变，从而适应实际遇到的情况。当然这个复杂度是非 常有限的。毕竟空白区域的厚度只有 3。

假如上图还有一个蓝色点也没有与红点相连，也可以补救。所以红色螺旋在螺旋前进的 时候是必须要探路的，这跟李玫瑾破案有些相似。
如果你继续加入更多假设点，当厚度超过 3 的时候，那就是不可能发生的情况。

3、蓝绿可着色的原因
我们先来从简单的图形上获取普遍的性质，然后推广到无限复杂的极大平面图上。由于 我们在设计黄色螺旋和红色螺旋的时候，就是想要把黄色点和红色点合并到它们的起始点 11四色定理系列论文 上，但是目前这个特性，还没有使用到。另外所有的点都跟黄色点和红色点连接的性质，下 面也会着重使用到。我们前面设计的细节会在这里展现出来。
如图，我们先把正十二面体对偶图做“双螺旋统一化”。然后依次把所有黄点合并到起 点，并且黄点连线都染黄色以示区别。然后依次把红点合并到起点，并且红点连线都染红色 以示区别。在第三个图里，用蓝点蓝线着重勾勒出一个特殊的闭合空间。由于蓝点必然连接 到黄色点，因此蓝点必然连接到黄色螺旋起点。同理，蓝点必然连接到红色螺旋起点。从而 形成一个闭合的约束空间。在这个空间内的点只有可能存在一条黑线与外界连接，虽然这条 黑线打破了局部的平面性，但是在这条黑线两侧依然存在严格的平面性。这也是我们设计双 螺旋的意图，即使合并黄点和红点后，整个图不是平面图，但是依然有严格的平面性保留在 很多局部。我们就是要挖掘利用这些看似无用的平面性，来约束黑色点和黑色线。同理我们 可以找到其他的闭合的约束空间。在这些闭合约束空间的共同作用下。所有黑色的点和黑色 的线，都被强烈的约束着，从而不可能形成一个黑色的圈。

我们可以把这个闭合约束空间推广到所有的极大平面图上。因为这些闭合约束空间是由 “双螺旋统一化”的特性推导得出，具有普遍性，而不是只在某一个图上才有。至此，理论 上，蓝色和绿色可以成功被着色的原理已经解释清楚。当然，我们在着色的时候，完全不必 这么麻烦，直接把黄点和红点都抹掉就好。

4、适用性分析
“双螺旋统一化”可以应用于本文针对的全部极大平面图。 本文针对的极大平面图是不可拆分的，点的度最小为 5。因此我们一般可以把一个度为 5 的点作为红色螺旋的起点，相应的黄色螺旋的起点在它的覆盖之下。考虑螺旋方向，选定 即可。

5、理论证明
本文写到这里不可避免要把证明补全。对四着色的算法“双螺旋统一化”进行证明如下。

如上图，对正十二面体的对偶进行双螺旋统一化，把黄红点合并，奇特的事情发生了， 黄点和红点的连线转变为真实的双螺旋线了。实际上这些螺旋线继承了原图的核心平面性。
我们开始逐层对合并图进行分析。上图第三例，蓝点和绿点是最靠近双螺旋中心的点。 它们两个所构造出来的闭合约束空间是最初始的最简单的。它们存在的意义不是对内部点的 约束，实际上它们内部无点，而是标志着二叉树的起点，同时在理论上开始使用双螺旋线来 构造闭合约束空间。二叉树在数学本质上是对二进制的映射。

如上图，我们逐层构造闭合约束空间，下一层的闭合约束空间包裹上一层的点和闭合约 束空间。从而形成两组闭合约束空间，分别标蓝色和绿色。这种结构对应着数学演绎法，也 就是数学归纳法。
第一层的点受到第二层的闭合约束空间的束缚，它只能拥有两个连线，一条连接到第二 层的点，一条穿越第二层的闭合约束空间。这就是一个典型的二叉树结构，一条连线标志 0， 另外一条标志 1。

当我们考察第二层的点的时候，注意到第二层闭合约束空间和第三层闭合约束空间之 间，还有一个特殊的闭合约束空间。如下图中间例图，紫色和棕色线，是由第三层的黄点和 红点合并到起点之后，留下的痕迹。

因此，第二层的点不能与第三层的点相连。这个二叉树到第二层这个节点就是叶子节点 了。
第三层的点在本图内已经无约束，因此可以相互连接，并且只能与另外一组闭合约束空 间内的点跨越闭合约束空间的边界连一条线。这又是一个典型二叉树结构。
本质上。黄红点合并后，图上剩下的黑点和黑线只能是二叉树的结构的局部，可以完美 的二着色。

我们可以进一步运用二叉树的性质进行化简，从而把证明过程从繁琐的讨论中解放出 来，变得更清晰明白。

如上图例一，我们上面已经通过分析得出蓝色点是二叉树的叶子节点，它们的度是 3， 所以可以直接消掉。它们的颜色由它们连接的二叉树节点决定即可。相同的道理，可以继续 消掉图例二的蓝色节点，最终得到图例三，直接着色就完成了。
这种从内向外消简，再从外 向内着色的形式，对应的数学模式就是演绎法。
我们只需要证明所有的极大平面图都可以做 双螺旋统一化，并且在上述二叉树消简过程中，都可以消简到 4 个点为止。这样四色定理的 证明就完成了。由于双螺旋统一化是显著的分层结构。我们只需要证明每一层都可以消简完 成即可。

下面我们推广一下。
如下图，我们逐层消简标蓝色的点。因为这些点即是合并黄红点后度为 3 的点。

通过前面的分析，并且又有一例的验证。我们可以把双螺旋每层都能消简的原因列出来。
1、由于每层黄红点合并后形成闭合约束空间，会约束它们连接的某一个黑色点成为二叉树 的叶子节点。
2、红色螺旋做覆盖的时候，消除了黑色点的三角形，因此每个闭合约束空间内，只有二叉 树结构。在叶子节点消简后，二叉树节点陆续成为叶子节点，从而陆续全部消简殆尽。
至此，已经全部证明完毕。

本文综合运用了大量的知识和智慧，希望对大家有启发。

以下以一个非常怪异的极大平面图为例，此例立体化为三维物体之后不类似球体，而是 极端不规则的三维物体。