四色定理应该这样表述：地球仪表面上的所有区域都可以四着色区分，不包括飞地。
没错，如果海洋用白色着色，那所有临海的国家都不允许是白色，只有纯内陆国家才允许着白色。
比如所有丑国军事基地都算丑国飞地的话，同理如果世界上1000个国家在其他国家都有飞地，那这张世界地图实际上是没办法着色的。肉眼不可能分辨1000种颜色。

球形地图本身就是凸多面体的变形，地球仪上的每个区域就是凸多面体的一个面，每一条边界就是凸多面体的一条边。
凸多面体中最具有代表性的就是正多面体，但是最被人追捧的是戒指皇冠上的钻石。包括正多面体在内，所有的凸多面体的面都可以四着色。
所以你可以自信的说：“四色定理，我熟悉，我天天戴在手上。”
正四面体，人人爱吃的粽子，先吃一个压压惊。每个面都是正三角形，4个国家各有3个邻国。四着色很简单。
正六面体，立方体，三阶魔方，麻将骰子，压大还是压小呢。每个面都是正方形，6个国家各有4个邻国。四着色比较简单。
正十二面体，传统绣球十二瓣，经常被折纸艺术化来表示12月、12生肖、12星座，网上教程一大把。每个面都是正5边形，12个国家各有5个邻国。四着色的门槛。
看到趋势了吗，接下来我们会疑问：“有没有每个面都是正6边形的正多面体呢？”
抱歉，亲，我弄了一堆正6边形，根本拼不出来，只拼出来一堆平面蜂巢，不如吃点蜂蜜压压惊。
3*120°=360°，没人比蜜蜂更懂平面网格了。人类的十字路网弱爆了。蜂巢路网，正三叉无灯路口，了解一下。
在一个地球仪上，每个国家各有6个或更多邻国的情况，是不存在的。
这其实是欧拉定理的推论而已。
在数学范畴内，研究平面图和凸多面体无法绕开欧拉。
设G是一个凸多面体，顶点数为V，棱数为E，面数为F，则有著名的欧拉定理：V-E+F=2
有一个常见凸多面体更复杂一些，必须提一下，足球，12个5边形和20个6边形。四着色的守门员。
凡是研究四色定理，必须先解决上述几个多面体，才具有基本说服力。这几个已经是多面体中最基本最简单的了。
如果连足球都搞不定，直接放弃好了，回去踢球吧，抱歉，亲，我忘了您连球都踢不好的，山上的笋都让你给夺完了。

很多人对四色定理有一个深深的误解，甚至很多数学家都有一个错觉；他们认为四色定理是一个平面上的数学问题，这种视角的错误，就是很多人低估四色定理的原因。
实际上，四色定理是一个球面上的数学问题。
就如同现在这个时代还有人相信天圆地方，哪怕我们的宇航员都已经上天了。
过去200年很多数学家带着这种有色眼镜接手四色定理，又带着深深的无奈离开，由于跟前人的结果一致，而相当于交了白卷。
就像是考试最后一道大题，所有人都在反复解答第一问，但没有一个人完成第二问，当然有很多人连第一问都答错了或者答不出来。

四色定理是金子，那我们就得先把金矿敲碎才行。
在平面地图上把国家标成一个点，把相邻国家的点用线连起来，被线连接的两个点不允许同色；这样就把地图着色转化为点着色；这样构造的图就是原图的对偶图。

对于固定的一群点，逐渐添加不交叉的连线就形成一组平面图，极大平面图就是其中连线最多的平面图；显然这个方法跟构造对偶图的方法一致；对极大平面图的点着色可以直接套用到这一组平面图。

极大平面图很有特点，它的所有面都是三边形，当然它的外部面也是三边形。所有的极大平面图最外面的连线拉直后都是一个三角形。
数学中有一个最古老最常用的策略：化整为零。我们得把极大平面图敲碎。
显然任意一个极大平面图可以拼合到另外一个极大平面图的一个内部面上，形成的也是一个极大平面图。
同理，可以逆向操作，在一个极大平面图里，如果存在三边形的环路，并且这个环路内部存在点，那么这个三边形的环路就可以拆分出来；三边环路在两个子图里都要保留。
拆分后的两个子图都是极大平面图。
极大平面图的拼合和拆分都不影响着色。两个子图分别用“赤橙黄绿”和“蓝靛紫白”着色，然后照着拆分的环路上的三个点，对应置换着色即可。
通俗的说，所有被3个及以下国家包裹的一组国家，都可以拆分出来。拆分形成的两个地图可以分别着色，之后再置换着色并拼合。
所以，四色定理只需要专注于不可再拆分的极大平面图，三边形环路内都无点存在。

极大平面图裹在球体表面，就是凸多面体。跟包个肉包子同理。
还可以把极大平面图想象为一张渔网，拎着渔网上的点慢慢向上提，当所有点都提起来的时候，它就是一个凸多面体。
极大平面图和它对应的凸多面体属性完全一致。
用来绘制三维物体的三角网格组成的多面体通常就是一个极大平面图的立体化变形。

下面我们得把沙子洗掉，才能收获金子。
一个极大平面图上的一个点的着色的难度，显然是由这个点的连线的数量决定的。比如中国着色就难，因为周围国家太多了。
点的连线数量被称为这个点的度。
根据欧拉定理，在任何一个极大平面图里，必然存在度数小于等于 5 的点，等同于前面提到的“每个国家各有6个或更多邻国的情况，是不存在的。”
四色定理这一道大题的第一问是这样的：如何处理并着色一个极大平面图里难度数为1的点，度数为2的点，度数为3的点，度数为4的点。
没错，就是这样简单一问，200年里被反复解答，回看一下，都是一样的答案，太阳底下无新事。当然那些答错的就贻笑大方了。
数学中有一个最古老最常用的策略：化繁为简。
正确答案如下：
把度数1、2、3的点直接消掉；
在度数1、2、3的点没有了之后，把度数4的点拎起来消掉，它连的4个点，共2对对角点，其中1对保持不动，另外1对合并；
这些被消掉的点的颜色由它们被消掉时连接的点决定即可。
通俗的说，把只有3个及以下邻国的国家直接抹掉；把只有4个邻国的国家抹掉，并把它的2个对角邻国合并。
拿到一个需要四着色的地图，先按照以上方法消掉一堆国家；暴力美学，我知道亲们都喜欢玩消消乐。
一个极大平面图在上述处理过程中会越来越小。

我们来运用一下上面的成果吧。听说武汉区划图是用来四着色的好例子。
轻松完成4着色，完全不需要猜测。

所以，如果以后有人说他找到了四色定理的反例，但是他反例里居然有四个及以下邻国的国家存在，那他一定是个傻子。

让我们总结一下。对于四色定理来说，一切有四个及以下邻国的国家存在的地图已经完全没有任何研究价值了。
更进一步，任何极大平面图，如果里面有度数4及以下的点存在，就没有任何研究价值了。
我们在构造极大平面图的时候，直接构造只有度为5及以上的点的图即可。
通俗的说，如果证明四色定理的过程中，大量的篇幅都在讨论度数4及以下的点，那这样的证明没有任何意义。
好了，现在沙子都洗掉了。我们才开始进入正题。

我们先来把正四面体，正六面体，正十二面体，足球着色吧。作为一个引子。

先看图，正十二面体顺利完成4着色。
在过程中还顺便收获了一组“可约化构形”，其实就是一组度为5的点的固定结构。
当这个“可约化构形”出现在更大的极大平面图里的时候，我们可以直接套用这里得出的化简结果。
依然是化繁为简的那个思路。
首先我们需要找到所有的“可约化构形”，然后对极大平面图反复化简，直到可直观四着色为止。
但是仔细一想，所有的“可约化构形”真的存在吗？如果是无穷多怎么办？
这就是争议的焦点，有一部分人认为是有限的，他们通过计算机找到了1000个以下的“可约化构形”，并认为这就是全部。
实际上按照这个思路，任何一个计算机系的学生都可以编制程序来完成四色定理的证明，只是需要时间和经验，累积“可约化构形”而已。
四色定理就从一个大灰狼变成一只小白兔了。
既然人人都可以证明，那四色定理也就不再神秘了。
那么四色定理究竟是被谁证明的那？
是编制程序的人吗？显然不是。
是运行程序的人吗？显然不是。
准确的说应该是那个第一个提出“可约化构形”的人。
著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)，他提出的构形和可约的概念，只不过他那个时代没有计算机，可笑吧？
但是目前数学界对这一套“可约化构形”的证明方式非常的不满意。
确实问题很大。首先，这是一本电话簿，其次你得愿意相信它。

说到底，四色定理在纯数学理科领域是一套理论基础，而在工科应用领域包括计算机科学领域又必须要有实用价值。
也就是说我们需要真实的对具有成千上万个点甚至更多的超大的超复杂的极大平面图的点进行四着色。
你证明它可以四着色，跟你实际上把它的四着色完成，是完全两个概念。
特别是有大量的人包括肯普都曾经试图使用反证法，用仅仅一页文字就证明四色定理，并不想去实际的进行四着色；当然了他们这些努力虽然失败了，但是过程中诞生了新的道路。
我们说个很直观的例子，大家都知道苏炳添吧。他的成功完全是由于美国教练兰迪的科学指导，他完全改变了之前的训练方法，从而成为奥运飞人，为亚洲人开创了一条崭新的道路。
这套亚洲人短跑的理论是兰迪的，他预测苏炳添可以跑9.84秒，也就是说所有跟苏炳添条件一样的人都应该可以做到。但做到的只有苏炳添。苏炳添证明兰迪是对的。
把理论应用到实践中，是一个非常痛苦而艰难的过程。
在实际的四着色过程中，可约化构形是及其好用的利器，而且可约化构形是在消简合并中实际得到的固定结构，并不依赖于四色定理。
可约化构形因为其自身结构，可以自然的四着色。我们可以通过可约化构形推导出四色定理，但是我们无法从四色定理推导出可约化构形。
谁证明谁，一目了然。
可约化构形是从实践中总结得到的，它既可以自然四着色，又可以证明四色定理的理论，又可以实际的把四着色完成。
究竟是理论指导实践还是实践指导理论呢？谁才是根本？
所谓“人是过客，花是主人”；这种主客关系完全颠倒了，但是又非常贴切。
作为工科应用领域，我们要做极大平面图的点着色，可以不知道四色定理，但是不能不知道可约化构形，不能不用到可约化构形。
可约化构形可以说达到了知行合一的境界。