下面会逐个介绍不同的嵌入图方法（坑会慢慢填）

首先讲讲Donald Marolf的方法。这种方法准确但不够直观。
Donald Marolf(1998)提出了一种将Kruskal黑洞的1维径向空间和1维时间所组成的1+1维时空嵌入到2+1维闵氏时空中的方法，嵌入结果如下图所示。

注意，上图并不是把1+1维弯曲时空嵌入到3维欧氏空间中，而是嵌入到2+1维闵氏时空，图中只有水平方向才是空间方向，而竖直方向是时间方向。
注意，上图中曲面上的网格线仅是为了方便看清嵌入图的几何形状，没有其他物理上的含义。后面会给出有物理意义的史瓦西坐标系画在嵌入图上的样子。
如下图所示，这个嵌入图可以通过图中描黑的“X”形状的交叉线划分为四个区域，这四个区域分别对应Penrose图中的四个区域，而“X”形分割线则代表了黑洞的事件视界。

现在，为了看清嵌入图的物理意义，去掉嵌入图上的网格线，画上史瓦西坐标系（等t线和等r线），结果如下图所示。

下图中描黑的坐标线代表了史瓦西坐标系中的等t线。

下图中描黑的坐标线代表了史瓦西坐标系中的等r线。在下面的右图中显示了这些等r线被限制在了XT平面中。其中Y=0位置的等r线（r=2MG/c^2）代表了事件视界的位置。越靠左的等r线代表离黑洞中心越远，越靠右的等r线代表离黑洞中心越近。

利用这个带有史瓦西坐标系的嵌入图模型，一些由黑洞引起的引力效应可以得到更为直观的解释。
文中是这么解释黑洞对视界外的物体产生的吸引力的：仅考虑嵌入图中的I区域，假设视界外有一个相对黑洞静止的飞船，它在嵌入图上的世界线是一条等r线。这条等r线由于全部躺在XT平面中，所以只在XT平面中有弯曲，这就意味着在2+1维闵氏时空中有一个沿X方向的加速度。但是要注意，嵌入曲面本身就已经代表了原来的1+1维弯曲时空的全部，它在图中所处的外部2+1维时空并没有任何物理意义，嵌入的过程只是为了可视化，因此加速度伸出（也就是垂直于）嵌入曲面的部分是没有意义的，有意义的部分是切于曲面的加速度分量，这个切于曲面的加速度分量才真正代表了飞船的加速度。从图中可以看到，越靠近事件视界，X方向的加速度矢量切于曲面的分量就越大，而且方向背离事件视界向外。这就意味着飞船越靠近事件视界，就越需要更大的背离事件视界向外的力来保持相对静止状态。越是远离事件视界，曲面就与X方向的加速度逐渐垂直，切于曲面的分量就越来越小，这就意味着飞船维持相对静止状态所需的力就越小。这就说明了黑洞对飞船有一个我们熟知的吸引效果，且越靠近事件视界这种效应越剧烈，越远离就越平和。
该嵌入图还可以用来解释引力时间膨胀效应。如下图所示，两条等t线之间夹着两条不同远近的等r线，可以很直观地看到左边远离黑洞的等r线要比右边靠近黑洞的等r线要长，这就说明了远离黑洞的钟经历的固有时要比靠近黑洞经历的固有时长，这个效应就是我们常说的引力时间膨胀。

当然，该嵌入图还能解释事件视界内部的潮汐效应，不过在这里就不多说了。
另外，作者在Discussion中还提到，虽然并不是所有的1+1维时空都能嵌入到2+1维闵氏时空中，但对于没有事件视界的球对称类星体的径向时空，这种嵌入方式还是可以办到的。如球对称薄球壳的径向时空，其嵌入图如下图所示。

顺带一提，在文中的附录中，还讨论了黑洞内部由r和φ所组成的时空（黑洞内部r已经变成了类时属性）在2+1维时空中的嵌入图，如下图所示。

这个结果似乎与吧友@uukoo 在2013年发表的帖子（标题：史瓦西时空r-θ坐标面嵌入图及其展开的想法【重发】）中所提到的嵌入图是一致的（只有上半部分）：

现在看来该吧友当时还没有发现这篇文献，否则他就可以通过相互对照验证自己的结果了。（虽然Marolf的这篇文献没有列出r-φ嵌入曲面的方程，但与我自己的计算结果所画出来的形状看起来也是一致的，所以应该没有什么问题）
这篇文献的嵌入方案无疑是定量准确的，它完全地把原来的1+1维时空的性质全部都带到了嵌入图中，可以说原来的时空有什么性质，嵌入图上就有什么性质。只是由于嵌入的是2+1维的闵氏时空，所以会不可避免地破坏一些直观性，比如很难从嵌入图中看出时空的弯曲在时间方向上的平移对称性，这是因为越往上走就越靠近光锥，从而弯曲导致的斜率变化就会越慢，看起来就像被拉直了一样，其实并没有拉直。

我觉得在讲下一个方法之前有必要再补充一点，因为已经介绍完第一种嵌入方法了好像也没有对什么是嵌入图做过任何解释。
首先嵌入图的目的就是为了给人们提供一个弯曲时空或者弯曲空间“从外部”看起来是什么样的直观几何印象。如果我们希望知道一个二维曲面从外部看是什么样的，那就把它嵌入到三维空间中去，这样我们就可以直观地从三维空间的视角好好地对二维曲面观察一番了。但是弯曲时空是4维的（3个空间维+1个时间维），光是4维我们就已经无法取得直观印象了，更别说它还要嵌入到更高的维度中去。既然无法直接得到4维时空的嵌入图，那么我们能不能对它进行降维，只对它其中两个维度构成的2维面进行嵌入呢？我们已经知道，把弯曲时空中的两个空间维构成的2维面嵌入到3维欧氏空间中的工作很容易完成，至少对于一些对称性很好的弯曲空间是可以做到的（见1楼的第二张图），但是由于质点的世界线并不在这样的曲面上停留所以弯曲时空的大部分性质它都无法体现，真正能体现这些性质的只有时空。因此我们需要减掉1个空间维，把时间维加进来，对1维空间+1维时间的2维时空面进行嵌入。“如何对1+1维时空面进行嵌入并能最大限度地获得原来时空的所有性质同时还能兼顾直观性”就是本帖主要探讨的问题。
需要强调的是，时空原本的性质并不依赖于嵌入方式，所嵌入到的高维空间也没有任何物理意义，嵌入图只是为了取得直观性。所以那些认为“时空在高维空间中弯曲”或者“时空向更高维度方向弯曲”可能是嵌入图的“受害者”。我们必须搞清楚外曲率和内禀曲率的区别，外曲率只有在嵌入到高维空间中的时候才会存在，而内禀曲率是时空内部的性质，不依赖于嵌入，所谓的“时空弯曲”指的是内禀曲率而不是外曲率。比如一张平坦的纸卷起来后只改变了外曲率，不改变内禀曲率，它的内禀曲率依然是零，生活在这张纸上的二维小人不会感觉到纸被卷起来了。这一点需要特别注意。

下面来介绍Rickard Jonsson(2001)的方法。（这个方法与1楼提到的“肋骨”模型有很深刻的联系，基本可以用来回答由那个模型产生的所有问题）
不过在这之前，有必要先来回顾一下Donald Marolf的方法。在Marolf方法里，时空面被嵌入到了2+1维闵氏时空里，为什么要嵌入到2+1维闵氏时空里呢？直接嵌入到3维欧氏空间里不行吗？有什么区别？区别就是度规不同，欧氏度规是正定的，只能计算出正的线元平方；闵氏度规是不定的，既能有正的线元平方也能有负的线元平方。熟悉闵氏时空图的同学都知道，时空图中有“类时间隔”和“类空间隔”的区别，这正是因为在计算距离时时间线元平方的系数和空间线元平方的系数的符号是相反的，从而导致负线元平方出现的可能性。（可以看出Marolf方法对学习者在闵氏时空图的掌握程度上有较高要求，这也是它难以被推广的原因之一吧，尽管这种嵌入方式保留了原来时空的所有性质）因此，要想保留原来弯曲时空上的负线元平方，嵌入到3维欧氏空间里的做法本质上就是不可行的。
不过Rickard Jonsson(2001)偏偏要把它嵌入到3维欧氏空间中。他当然知道这样的做法不可能保留负线元平方，但与此同时他也意识到了像Marolf那样嵌入到闵氏时空的方法对直观性的表达能力是有限的。他从短暂的学习生涯中学到了一件事，越是想保留负线元平方，就越会发现对直观性的表达能力是有极限的，除非嵌入欧氏空间。所以，他放弃了负线元平方，只期望嵌入图能产生相同的测地线轨迹，这就意味着放弃了对原来时空其他性质的保留。
具体来说，他的目标就是为1+1维弯曲时空度规找到一个相对应的正定的2维黎曼度规，要求这个正定的度规可以按照“测地线是最短线” 的原则产生和原来的时空轨迹一致的测地线，这样就能把这个对偶度规嵌入到3维欧氏空间里了。他为这个正定的度规取了个名字，叫对偶度规（dual metrc）。显然，对于平直闵氏时空这个平凡的情形，这样的对偶度规是存在的，它的对偶度规就是直接反号变成的欧氏度规，容易验证闵氏度规和欧氏度规在测地线上是等效的，因为它们的测地线都是典型的直线。对于不平凡的情形，Jonsson证明了对于任意与时间无关且无交叉项的1+1维时空度规总是能找到与其相对应的对偶度规。特别地，对于外部史瓦西度规（固定两个角度坐标产生的r－t面度规），其对偶度规可以以旋转曲面的形式嵌入到欧氏空间中去，嵌入结果如下所示：

上图中旋转曲面的旋转角代表史瓦西时间坐标，曲面上沿轴向分布的圆圈（每个圆圈都是一条等r线）代表径向坐标，圆圈沿轴向变大的方向（喇叭口变大的方向）代表靠近事件视界的方向。注意，这个旋转曲面是分层的，当时间坐标绕着曲面走过一圈后并不会回到起点，而是会进入到下一层，可以把它想象成一捆喇叭状的无限薄的卷纸。
由于该嵌入图与原来度规是测地线等价的，所以在上面以“测地线是最短欧氏距离的线”的原则画出的线就代表了原来时空中的测地线轨迹。根据这一点就可以在嵌入图中画出如下图所示的测地线：

上图中的测地线解释了在地面上向上抛出的物体又落回到地面上的引力现象。
对于均质球对称星体产生的径向弯曲时空面，其对偶度规的嵌入图如下所示：

通过精心挑选规范系数，可以把嵌入图的中心调整成一个如上图所示的球形，这样就可以根据“球面上的测地线是大圆”来画出表示穿过星体内部的周期震荡运动的世界线（图中斜着的白色大圆）了。
对偶度规在直观性方面的优势在于它是通过欧氏最短线来产生测地线的，如果我们能把嵌入图做成实物模型，我们就可以通过在模型上的两点之间拉紧一条细绳的方式产生测地线，或者用有左右轮的小车在模型表面上开过的轨迹来模拟测地线，这样就可以生动地展示出时空弯曲是如何影响物体运动的了。
当然，以上的想法不仅仅停留在设想阶段，Jonsson还真的付出了实践。在他的博士论文(2004)中他详细介绍了他是如何制作嵌入图的实物模型的。下图中展示了他制作出来的两个实物模型（分别对应于上面提到的两个嵌入图）：

为了在这样的模型上产生测地线，他使用了下面的绘图小车（由一个三轮玩具小车和一支笔组合而成）：

然后就可以通过实际动手的方式在模型上画出测地线了（可惜他没给我们看看画出来的效果）：

Jonsson的这个方法的优点是特别直观，有实际操作的可行性，有助于加强学习者关于弯曲时空与测地线的几何直觉。但也要注意这种嵌入方式仅对测地线是保真的，嵌入图上的距离并没有任何物理意义，所以一些相关的引力效应它是没法解释的。比如引力时间膨胀，如果你把嵌入图上的距离当成是固有时的话，就会发现越靠近引力源走一圈所走的距离比远离引力源走一圈要长，这就得出与引力时间膨胀效应相反的结论了。
我们还可以注意到，如果把上面圆柱中间捅个球的嵌入图强行像抽卷纸一样展开，会变成什么样？没错，它会变成像1楼第一张图那样，充满了褶皱，越靠近中心褶皱就越深。你可能已经猜到了，1楼的模型其实和Jonsson的模型是等价的，只不过Jonsson模型是定量计算的结果，而1楼模型仅是定性正确罢了。怪不得这两种模型在解释引力时间膨胀的时候都遇到了同样的困难。现在我们就能回答1楼模型的作者关于1楼模型在多大程度上接近正确答案的疑惑了，那就是，1楼模型仅在测地线轨迹上定性符合正确答案，而Jonsson模型可以做到定量一致。
最后，再解释一下我在1楼里留下的一个坑。我在1楼提到过，1楼模型的作者认为那个模型解释了环绕星体的轨道运动，但我认为它应该像Jonsson模型那样描述的是物体在引力作用下穿过星体内部的一维周期振荡运动，原因很简单，环绕运动是在2+1维时空中的运动，不能简单地把它投影到1+1维时空面上来处理。
（待续）

已经17小时过去了还没解除屏蔽，我倒要看看“几分钟到数小时不等”的下限到底在哪里

24小时过去了

（接5楼）
5楼已经说过，对于不随时间变化且无交叉项的2维时空度规，Jonsson成功地找到了对应的对偶度规，并把对偶度规以分层旋转曲面的形式嵌入到3维欧氏空间里，使其产生与原来度规一样的测地线轨迹。进一步地，Jonsson想把这个方法推广到更高维的时空（比如2+1维时空）里，讨论找到高维时空度规的对偶度规的可能性。不幸的是，他发现这是不可能的（对于平凡的情况，比如2+1维闵氏时空，显然是可以找到对于所有测地线都成立的对偶度规的，但是对于任意时空就不一定了），最多只能对特定的测地线才能找到对应的对偶度规。也就是说，对于高维时空度规情形，不能找到满足所有测地线都与原来度规一致的对偶度规，但能找到满足某些测地线的对偶度规。于是Jonsson退而求其次，为2+1维情形找到了“只满足光子测地线等效”的对偶度规。他发现这个对偶度规的时间-时间分量是常数，这就意味着，光子在这样的时空中所走的测地线在空间上的投影与在对偶度规的空间部分按最短线所走的测地线是一致的。这样的空间部分被称为optical geometry（找不到对应的中文翻译，为了避免和“几何光学”混淆我就不强行翻译成“光学几何”了。这是一个在Jonsson之前早就被提出的概念）。这样我们就可以把对偶度规的2维空间部分直接嵌入到3维欧氏空间中，嵌入图上的测地线就代表了光子在2维空间中的运动轨迹。特别地，对于球对称星体的2+1维赤道面时空，其光子测地线等效的对偶度规的空间部分的嵌入图如下：

上图中球形部分上的大圆代表了星体内部的闭合光子轨迹。
对于2+1维弯曲时空中的其他测地线，虽然也能找到对应的对偶度规，但是它们的时间-时间分量不是常数，所以时空中的测地线的所有信息并不能由其空间部分完全体现出来，因此它们的测地线就不能用其空间部分上的测地线来代表，也就无法嵌入到3维欧氏空间中。
（待续）

能解释一下没有物理意义吗？主要是哪个环节无法满足?因为数学、几何看来很圆满啊，怎么就没物理意义呢？

@lzparklzpark
说的是所嵌入的高维空间没有物理意义，高维平直空间只是一个用来可视化时空的“载体”而已，时空作为流形本来就不需要嵌入到高维空间才能理解，嵌入高维空间后还会多出来一些我们不需要的信息，比如外曲率。我们在讨论时空弯曲的时候并不需要外曲率这么一个取决于嵌入方式的外在性质，我们在说时空弯曲的时候说的是内禀曲率。内禀曲率是时空的内蕴性质，它可以从时空内部被测量出来。相比之下，外曲率只有被嵌入到高维空间中的时候才会存在，并且从内部是测量不出来的，你需要站到外部去测量，但又不可能站到外部去，所以说嵌入图中的高维空间是没有物理意义的，它只是让你直观地感受一下站在外面看时空的感觉，但不要以为弯曲时空就长这样。所以这也是嵌入图的一个缺点，它会让人误以为真的存在一个高维度的外部空间，误以为我们的时空浸泡在这个外部空间里，误以为时空向更高维度的方向弯曲。打个比方，假如我们要考察一张纸的内蕴几何性质，那我们就把目光聚焦于它的内部，而不是它在外部三维空间中的具体形状，因为无论这张纸是摊平的还是卷起来的，还是捏皱的，都不影响它的内部性质，纸上生存的小人既感觉不到纸皱了，也感觉不到外部空间，纸就是它生活的全部，外部空间对它是毫无意义可言的。

（接9楼）
下面介绍一个有趣的方法。
Lewis Carroll Epstein在他的科普书《Relativity Visualized》中提出了一种可视化弯曲时空的方案，他对穿过星体内部径向轴线上的时空给出了如下所示的嵌入图（图中上半部分画的是被隧道贯穿的星体，下半部分是穿过该星体的轴线上的弯曲时空图）：

上图看起来和5楼介绍的Rickard Jonsson得到的嵌入图十分相似，都是一根圆柱中间有一个隆起，都是分层的旋转曲面，上面的测地线也都代表了原来时空的测地线。但实际上两者存在很大区别，区别在于，Epstein图中旋转曲面的旋转角代表的是固有时（proper time），而Jonsson图中旋转曲面的旋转角代表的是坐标时；Epstein图上的欧氏长度代表的是坐标时，Jonsson图上的欧氏长度则没有任何物理意义。如果将Epstein图沿轴线方向剪开，然后在平面上尽可能摊平的话，就会得到一个类似1楼的“肋骨”模型那样的表面上充满褶皱的平面：

如果把上图中的proper time（固有时）改成coordinate time（坐标时）的话它就变成了Jonsson图。虽然“肋骨”模型的形状都可以看成是两种方法的展开图，但原作者明显是把“肋骨”模型的时间轴解释成坐标时的，所以“肋骨”模型本质上依然属于Jonsson方法（当然，如果原作者愿意的话，完全可以把时间轴重新解释成固有时，使其变成Epstein图）。
Epstein图有意思的地方在于，它不仅可以像Jonsson图那样用中间球面上的大圆来解释质点自由落体穿过星体在星体内部做周期振荡的引力现象：

它还可以用来解释Jonsson图以及“肋骨”模型不能解释的引力时间膨胀效应。Epstein图是这么解释引力时间膨胀效应的：假设有两个相对星体静止的钟分别位于靠近星体的位置和远离星体的位置上。在Epstein图中，由于曲线的长度代表的是坐标时，因此两个钟在曲面上沿着截面圆走过相同的长度就代表走过了相同的坐标时。当远离引力源的钟走过一圈的时候，由于靠近引力源的圆比较大，所以靠近引力源的钟还没有走过一圈。又因为旋转角代表的是固有时，这就意味着，靠近引力源的钟所走的固有时比远离引力源的钟走过的固有时要少，即越靠近引力源的钟走得就越慢，这就是引力时间膨胀效应。
这样看来，Epstein方法确实很有意思，它不但能够通过测地线解释引力的吸引效果，竟然还能够解释Jonsson方法不能解释的引力时间膨胀效应。可是为什么用旋转角表示固有时后，曲面上的欧氏距离就能表示坐标时了呢？Epstein方法真的在数学上是严格正确的吗？Epstein的书作为一本大众科普读物，没有给我们从数学角度分析他的方法为什么是可行的。但事实上Epstein的方法在数学上并不难理解，他很可能只是用了一个小技巧。考虑一个闵氏线元的平方（也就是固有时线元dτ的平方）：
dτ^2=dt^2-dx^2
上式只要把空间线元平方移到等号另一边去就得到了：
dt^2=dτ^2+dx^2
这样τ和x的坐标空间就是欧氏空间了，其欧氏距离就是坐标时。
Jonsson在他的硕士论文(2001)中进一步探讨了任意时空使用这种方法得到的度规表达式（与对偶度规并不相同，尽管两者的嵌入图画出来的形状很像），并从数学上严格证明了Epstein方法确实是可行的。
但同时Jonsson也揭示了Epstein方法的不足之处。首先，Epstein图并不是严格意义上的时空嵌入图，其上的点和原来时空上的事件不是一一对应的，如下图所示：

一条粒子世界线的起点的固有时坐标在Epstein的“固有时-空图”上是可以任意选取的，因此两条世界线在Epstein图上相交了并不代表它们真的在这一点相撞了。Jonsson在文中声称，他的一位好友，Daniel Berg，也独立地提出了和Epstein一样的方法（因此Jonsson也把这个方法称为Epstein-Berg方法）。Berg为该方法提供了一种动力学观点：粒子在Epstein图中以相同的速率从任意一个固有时坐标出发开始运动，当两个粒子在同一个时间处在同一个位置上（同一个截面圆上）时才代表它们发生了相撞，而不是看它们的轨迹是否相交。
Epstein方法的另一个不足之处是，它无法展示类空曲线。当粒子的速度达到光速时，它在上面的轨迹直接就“躺平”了，变成了一条沿轴线延伸出去的轨迹，不会产生沿旋转角方向的分量。这很好理解，类光曲线的固有时为零，其运动轨迹自然就不会在旋转角方向前进了。而对于类空曲线，容易算出dτ是虚数，如此一来，类空曲线在Epstein图上无处可画也就很容易理解了。
（待续）

（接12楼）
事实上，有些科普视频已经有意无意地采用了Jonsson方法或Epstein方法所蕴含的思想。比如，下面截取的视频片段（视频名称：General Relativity : Einstein vs. Newton）就参考了Epstein书中的例子，利用圆锥面上的测地线（右图）来科普时空弯曲是如何引起自由落体运动的，并将其与牛顿的“引力是一种力”的解释（左图）进行对比：

利用上面的思想，只要把12楼介绍的Epstein图上很短的一部分近似看成一个圆锥面，就能从定性上比较轻松地理解为什么Epstein图上的测地线总是有一种被吸引到中心的趋势了，如下图所示（图片来自PhysicsForums）：

除此之外，还可以通过在实物模型上贴胶带或者开小车的方式来实际模拟测地线，当然这样做会比较麻烦。下面这个网站（http://www.adamtoons.de/physics/relativity.html ）提供了一个可以模拟Epstein图上的测地线的Flash交互视频：

注意，上图中的旋转曲面的旋转角方向代表的是固有时的流逝而不是坐标时，测地线长度才代表坐标时（具体参见12楼）。在上述网页中，可以通过调整下方的滑块来修改参数值（初始位置、速度、引力源质量大小），使测地线发生相应的变化。还可以通过固定位置，将测地线限制在截面圆上，来观察不同位置的固有时流逝。感兴趣的可以去玩一玩。
（待续）

5楼总算是恢复了。5楼内容很重要，对本帖的核心内容感兴趣的一定不能错过。

（接13楼）
按照目前计划只剩最后一个方法要讲了，但在讲最后一个方法之前，我们先来思考一下这么几个问题：为什么在嵌入图上贴胶带和开小车可以形成测地线？3楼中Marolf的嵌入图可不可以也用相同的方式在上面贴出或滚出测地线？测地线到底是个什么玩意？其实认真看过我翻译的上一篇文章的吧友应该能理解，贴胶带之所以能产生测地线，是因为贴胶带是有原则的（他可不是乱贴的啊），贴胶带需要遵守以下几条原则：
1.胶带是不可伸缩的非弹性胶带。
2.贴胶带应该尽量保证胶带在贴的过程中紧贴曲面模型的表面，尽量保证既不发生起皱也不引起撕裂。
3.胶带一开始贴下去的方向代表了测地线的初始方向，后续的胶带只需要顺着这个方向自然贴下去即可，沿着弯曲时空的表面胶带会自然形成唯一的测地线路径，也就是说，一开始贴下去的部分胶带以及曲面的整体弯曲情况就完全决定了胶带以后的走向，也就决定了未来的测地线走向。
按照以上的贴胶带原则，我们就可以保证，胶带左右两侧边缘贴在曲面上的长度是相等的。保证左右边缘长度相等这一点很重要，因为测地线其实就是弯曲表面上最直的线，如果胶带两侧边缘长度不相等，比如左边短于右边（比如胶带左侧发生了起皱或压缩而右侧发生了撕裂或拉伸就会出现这种情况），那么胶带就势必会往左拐弯，那就不是直线了。
在曲面上开小车也是同样的道理，我们只需要保证小车的左右两只轮子大小一致并且是固连在一起的，而且滚过表面时紧贴表面而不打滑，那么就能保证左右两个轮子在表面上滚过的距离相等，从而保证小车的轨迹是测地线。如果左轮比右轮转的慢，车子就必定会向左转弯，轨迹就不是直线了，这也是某些无转向轮车辆（如坦克）的差速转向原理。当然，无论是胶带的宽度还是车轮之间的距离都不能太宽，否则做出来的测地线就无法感知到曲面上局部小区域内细微的曲率变化了。
读到这里可能就有人发问了：说了这么多，道理我都懂，但是根据3楼的结论，既然Marolf的嵌入图能保留原来时空的所有性质，那么可不可以把Marolf的嵌入图也做成实物，然后再在上面通过贴胶带或开小车的方式来模拟测地线呢？不可以，这根本行不通，原因是，当你试图把它做成一个实物模型并把它放在我们的3维空间中的时候，就说明你默认了Marolf的嵌入图是嵌入在3维欧氏空间里的，当你得寸进尺地想进一步在这样的曲面上贴胶带和开小车的时候，就说明你默认了曲面上的距离是按照欧氏距离计算的。但事实上Marolf的嵌入图是嵌入在2+1维闵氏时空里的，这就意味着嵌入图上的距离是按照闵氏度规来计算的，因此在这样的嵌入图上基于欧氏度规来产生测地线的方法本质上就是错误的。
不过无论是欧氏度规也好闵氏度规也罢，测地线都是对应空间中最直的那条线。在欧氏空间中，最直的线是两点之间的最短线，而在闵氏时空中，最直的线是两点之间的最长线。因此我们可以统一起来说，测地线是两点之间取到极值的那条线。通过这个定义我们也能从另一个角度理解，之所以要保证胶带两边距离或两边车轮滚过的距离相等，是因为，如果一边长一边短，那么两边夹着的中间就一定取不到极值，也就不是测地线了。当然这一切的一切都要求胶带宽度和车轮之间的距离足够窄，两条边要足够接近才能尽量减少误差。
（待续）

（接16楼）
下面要讲的是最后一个方法了，这个方法依然由Rickard Jonsson(2005)提出（没错，还是他）。
之前我在5楼说过，Rickard Jonsson(2001)为了将弯曲时空嵌入到欧氏空间里，提出了找对偶度规的方法，这个方法牺牲了原来时空的其他性质，仅保留了测地线轨迹的等效性。虽然我只是一笔带过，但其实找对偶度规的过程还是挺麻烦的。
而这次，Rickard Josson(2005)的做法就简单粗暴了许多，为了把1+1维时空嵌入到3维欧氏空间中，他直接将原来的1+1维时空度规取绝对值，把负的度规分量变成正的，然后就可以嵌入到3维欧氏空间中了。他把得到的新的正定度规叫做原来时空度规的绝对度规（absolute metric）。通过这个方法，只要将穿过星体中心的径向线时空度规的符号进行翻转，使其变成绝对度规，就可以将绝对度规嵌入到3维欧氏空间中了，嵌入结果如下所示（图中上半部分是穿过星体中心的径向线示意图，下半部分才是对应的嵌入图）：

与对偶度规嵌入图一样，上图中的绝对度规嵌入图也被嵌入成了一个分层的旋转曲面，环绕嵌入图的旋转角也代表了时间坐标，曲面上沿轴向延伸向左右两端的线也代表了空间坐标线。但两者形状上却截然不同，对偶度规嵌入图中间是一个隆起，绝对度规嵌入图中间是一个凹陷。
通过该嵌入图我们可以很容易地解释对偶度规嵌入图不能解释的引力时间膨胀效应：显然，越靠近中心沿时间方向的圆圈的半径就越小，因此越靠近中心的的静止钟走过一圈的距离就比远离中心的静止钟走过一圈的距离要短，所以靠近中心的静止钟所经历的时间就比远离中心的静止钟所经历的时间更少，也就是说越靠近中心的钟走得就越慢，这就是所谓的引力时间膨胀效应。特别地，考虑以下场景：假设在远离中心的某个位置向中心发射一个光子，该光子在嵌入图上就表现为环绕着嵌入图向中心靠拢的螺旋线，当该光子在时间方向上走过一圈时，在同一个位置向中心再发射一个光子，那么这两个光子在嵌入图上就始终相差一圈的距离，如果在中心放置一个光子接收器，那么这个接收器先后接收到光子的时间差就是一圈的时间差，又因为中心一圈的距离比远离中心位置一圈的距离要短，所以接收光子的时间差就比发射光子的时间差要短，这也能体现出引力时间膨胀效应。
也许你会疑惑，尽管这个嵌入图能很好地解释引力时间膨胀，但由于它的形状和对偶度规嵌入图是相反的，所以测地线会向相反的方向延伸，即测地线会向外拐，这岂不是意味着上面的测地线会有远离中心的趋势？一个静止释放的苹果会向天上飞去？是的，这就是这个方法的缺陷，在这上面按照欧氏最短距离求得的测地线并不是原来时空的测地线轨迹。我们在这样的嵌入图上找测地线时需要把度规号差再翻转回来，以闵氏最长线为基准来找测地线。
16楼曾经提到过，闵氏时空中的测地线是最长线，这是因为闵氏度规号差中时间分量与空间分量的符号是相反的，计算线元长度时，二者是会互相抵消的。考虑下面的闵氏时空坐标系中的两个事件点之间的类时间隔（涂色区域为光锥内部）：

如果保持dt不变，减少dx，则计算出来的类时间隔平方dτ^2=dt^2-dx^2就会增加，而增大dx则类时间隔平方会减小，当dx增大到与dt持平时，dt与dx互相完全抵消为零，就成了45度倾斜的类光间隔。现在我们很容易理解，如果一条世界线从原点出发，先以一定斜率偏离t轴，再以一定斜率返回t轴，那么它的长度一定会短于从起点直接连接到终点的直线距离，因此闵氏时空中的测地线就是两点之间的最长线。
根据闵氏时空中按闵氏度规计算出来的最长线来找测地线的原则，下面来看看绝对度规嵌入图上如下图所示的三条线段：

上图中的三条线段中哪条最可能是测地线呢？对于中间的线段（红线）来说，它相比于左边的线段（蓝线）要走过更大的圆圈，因此它的dt更多，所以它要比左边的线段要长；而相比于右边的线段（黄线），虽然右边的线段要经过更大的圆圈，但由于右边的线段太过靠近光锥，dx太多，所以中间的线段依然要比右边的长。因此，综上所述，中间的线段最长，更可能是测地线，其轨迹与物体的上抛并自由落体落回地面的运动轨迹是吻合的，能够正常解释引力源对物体的吸引力。当然，得出这样的结果是麻烦的，而且只能定性分析，不能动手操作，还对初学者在闵氏时空几何上的理解有较高要求。不过反过来想，这个要求也能促使初学者加深对闵氏时空几何的理解。
此外Jonsson还分析了通过其他观者（比如自由落体观者）的世界线来生成绝对度规嵌入图的可能性，不过我认为不太重要，所以就懒得说了，就这么戛然而止吧。
（待续）