（接19楼）
最后来个小总结。
1.本帖总共介绍了4种不同的弯曲时空嵌入方法，分别为Marolf方法、对偶度规方法、Epstein方法以及绝对度规方法。至于1楼的“肋骨”模型，由于它最终可以看成5楼对偶度规嵌入图展开后的近似，所以可以把它归属到对偶度规方法中去。而9楼的optical geometry则是针对2+1维弯曲时空中的光子测地线的对偶度规的空间部分的嵌入，本质上使用的也是对偶度规方法，而且解释起来复杂，局限性明显（只能解释光子测地线），故也不单独列为一种方法。此外，由于Rickard Jonsson一个人占了两个方法，所以这两个方法就不好以人名来命名，只要知道它们都是这个人提出的即可。
2.这些方法中只有Marolf方法是嵌入在2+1维闵氏时空中的，也只有Marolf方法保留了原来时空的所有性质（虽然原则上来说绝对度规方法也保留了原来时空的所有信息，但这要求我们时刻记得把度规号差翻转回来计算世界线长度）。
3.这些方法中，只有对偶度规方法和Epstein方法能够以欧氏最短距离为基准来产生测地线，也只有这两个方法可以通过贴胶带和开小车的方式产生测地线；而另外两个方法需要计算闵氏最长线来得到测地线。
4.严格来说，Epstein方法不是时空嵌入图，它与原来时空上的事件点没有一一对应关系，在上面也容不下类空曲线，它更应该被叫做“固有时-空”嵌入图。而在剩下的三个方法中，只有Marolf方法是原来时空的“等距”嵌入，另外两个方法都是对原来时空度规先做转化（分别转化为对偶度规和绝对度规），然后再“等距”嵌入到3维欧氏空间中。
5.所有的方法都有各自的优缺点，但它们都有一个教学上作为嵌入图挥之不去的最大的缺点，也是我之前一直强调的，它们容易让人误以为，时空就是这么个形状，时空向更高维度方向弯曲。所以在这里我要再强调一遍，我们不需要更高的维度，时空也不需要一个外在的形状，在使用这些嵌入方法的过程中应自觉地把目光聚焦于时空的内蕴几何学性质，这一点需要慢慢体会。
6.本帖仅对嵌入图方法的教学原理和教学价值进行了简要的探讨，并未正式使用这些方法来进行科普，所以可能会出现大多数初学者看不懂的情况，所以有看不懂的情况出现很正常。尽管如此，本帖也没有在数学上进行深挖，想了解这些嵌入方法背后具体的数学原理的请自行查阅相关文献。
最后来个小总结。
1.本帖总共介绍了4种不同的弯曲时空嵌入方法，分别为Marolf方法、对偶度规方法、Epstein方法以及绝对度规方法。至于1楼的“肋骨”模型，由于它最终可以看成5楼对偶度规嵌入图展开后的近似，所以可以把它归属到对偶度规方法中去。而9楼的optical geometry则是针对2+1维弯曲时空中的光子测地线的对偶度规的空间部分的嵌入，本质上使用的也是对偶度规方法，而且解释起来复杂，局限性明显（只能解释光子测地线），故也不单独列为一种方法。此外，由于Rickard Jonsson一个人占了两个方法，所以这两个方法就不好以人名来命名，只要知道它们都是这个人提出的即可。
2.这些方法中只有Marolf方法是嵌入在2+1维闵氏时空中的，也只有Marolf方法保留了原来时空的所有性质（虽然原则上来说绝对度规方法也保留了原来时空的所有信息，但这要求我们时刻记得把度规号差翻转回来计算世界线长度）。
3.这些方法中，只有对偶度规方法和Epstein方法能够以欧氏最短距离为基准来产生测地线，也只有这两个方法可以通过贴胶带和开小车的方式产生测地线；而另外两个方法需要计算闵氏最长线来得到测地线。
4.严格来说，Epstein方法不是时空嵌入图，它与原来时空上的事件点没有一一对应关系，在上面也容不下类空曲线，它更应该被叫做“固有时-空”嵌入图。而在剩下的三个方法中，只有Marolf方法是原来时空的“等距”嵌入，另外两个方法都是对原来时空度规先做转化（分别转化为对偶度规和绝对度规），然后再“等距”嵌入到3维欧氏空间中。
5.所有的方法都有各自的优缺点，但它们都有一个教学上作为嵌入图挥之不去的最大的缺点，也是我之前一直强调的，它们容易让人误以为，时空就是这么个形状，时空向更高维度方向弯曲。所以在这里我要再强调一遍，我们不需要更高的维度，时空也不需要一个外在的形状，在使用这些嵌入方法的过程中应自觉地把目光聚焦于时空的内蕴几何学性质，这一点需要慢慢体会。
6.本帖仅对嵌入图方法的教学原理和教学价值进行了简要的探讨，并未正式使用这些方法来进行科普，所以可能会出现大多数初学者看不懂的情况，所以有看不懂的情况出现很正常。尽管如此，本帖也没有在数学上进行深挖，想了解这些嵌入方法背后具体的数学原理的请自行查阅相关文献。
