1 引言:直线运动
测地线是一个基本而又极其重要的概念。在《原理》序言的第一段中，牛顿说道:
“描绘直线和圆虽是几何学的基础，却属于力学问题。几何学并不教我们如何画直线和圆，但需要我们画出这些线条。”
牛顿第一运动定律告诉我们，自由粒子做匀速直线运动。这句话没错，但为了让这句话变得有用，我们需要能够分辨出哪些路径是直线，哪些路径不是直线。(你也可以反过来，用自由粒子的运动来定义直线，但这远不如从测地线的几何思想出发来定义我们所说的“直”是什么意思来得简单和优越。)
顺带一提:如果从时空的角度来思考问题(也就是说，把时间维度也考虑进来)，那么牛顿第一定律的两个部分(“匀速”和“直线”)就可以看成是同一件事。“直线”意味着在XY平面中图像斜率是恒定的，而“匀速”则意味着在XT平面中图像斜率是恒定的。考虑所有的维度，匀速度(区别于匀速率)就是时空中的直线，不多也不少。更多有关讨论，以及交互式图片，可以在参考文献1中找到。
此外，你可能听说过一些关于广义相对论的东西，包括用时空的“弯曲”来解释引力的观点。这篇文章就从解释什么是弯曲空间中的直线开始，接着对空间弯曲的方向、弯曲的程度、以及这样的弯曲如何产生所谓的引力效应的一些重要细节逐一进行解释。
就像在参考文献1和其他地方讨论的那样，预先理解我们所说的时空是什么会很有帮助。

目录
1 Introduction: Straight-Line Motion
2 Two Models of Gravitation
2.1 A Correct Model : Paths Controlled by Curvature
2.2 Let the Tape Guide Itself
2.3 The Classical Model is Half-True
3 Orbits in a Gravitational Field
3.1 Hands-On Model, using Tape
3.2 Computer Graphics
3.3 Bogus Models of Spacetime
4 Geodesics on a Cone
4.1 Basic Construction; Projections
4.2 Physics is Defined Locally
4.3 The Metric for the Projected View
5 Preprinted 3D Models of the Cone
5.1 Building Your Own Model
5.2 Using the Model
6 Masking Tape is As Straight As Can Be
7 Digression: Strings on a Globe
8 Clocks and Timing
9 A Real-World Application: Plumbing
10 Parallel Transport of Vectors
10.1 Parallel Transport in D=3
10.2 Parallel Transport in a Curved Space, D=2
10.3 Definition of Parallel
10.4 Calculating the Curvature
10.5 Intrinsic versus Extrinsic Curvature
10.6 Tabletop Model of Parallel Transport
11 How To Fabricate Darts
12 The Geodesic Equation
12.1 Basic Ideas
12.2 Classical Mechanics Approach
12.3 Fancy Approach
12.4 Discussion
12.5 Polar Coordinates in the Plane
13 Gravitational Waves
13.1 Basic Notions
13.2 Analogy: Larmor Formula
13.3 Gravitational Radiated Power Formula
14 Quote
15 References

2 两种引力模型
2.1 一个正确的模型:受曲率控制的路径
这里有一个方便的方法来正确演示自由粒子在弯曲空间中的运动。
我们用一个二维曲面来作为我们的模型宇宙。为了模拟粒子的路径，在曲面上贴上遮蔽胶带。由于第6节中解释的原因，胶带将在二维宇宙中走测地线(直线)。与此同时，胶带是如此地薄，以至于它可以在第三个维度(嵌入维)的方向上弯曲。注意一定要使用遮蔽胶带，因为这种胶带是没有弹性的(相比之下，电工胶带是有弹性的)。
1.让我们先从一个非弯曲的宇宙开始。一个普通的平坦桌面就可以充当这样的宇宙模型，但要想把模型保留下来，可以使用一张平坦的美工纸或薄纸板。如果你身边刚好有一台高射投影仪，投影仪上的空白透明片也可以拿来用。
贴上一些胶带，看看会发生什么。开始时先只贴几英寸的胶带，然后把剩下的逐渐一点一点地贴下去。像2.2节所讨论的那样，让胶带自己引导自己。只要胶带不发生“皱折”或产生“气泡”，这个过程将自动构建出一个漂亮的测地线(直线)，达到一个极好的近似。
2.取出另一段胶带，让它与第一段胶带初始时平行，然后继续延长，让胶带自我引导，可以观察到这两条胶带从始至终都保持平行，达到一个很好的近似。
3.再贴出一段胶带，使这段胶带穿过前面两条胶带。我们可以观察到，此种情形展现出了我们所期望的欧几里得几何的性质，例如，内错角相等。
这与弯曲空间中的几何性质非常不同，弯曲空间的几何是非欧几里得的，我们一会儿就会看到。
4.为此，你需要准备一张平坦的美工纸或者薄纸板。在纸张上用胶带贴上一些测地线，然后将纸张卷成圆筒。(如有维持圆筒形的需要，可用燕麦纸盒缠住)这种做法不会拉伸纸张，它只会产生外曲率而不会产生内禀曲率。
圆锥是另一种有外曲率而无内禀曲率的形状(除了顶点这一奇异点以外)。
可以观察到，把纸张卷成圆筒形或圆锥形对测地线没有任何影响，初始平行的东西会一直保持平行，等等。这一点很重要，因为它表明了外曲率对在我们的二维模型世界中的粒子的运动路径没有任何影响。这与内禀曲率所表现出来的性质非常不同，内禀曲率将会在下面进行演示。
5.在一张平坦的纸上倒扣一个大碗。边缘坡度很小的碗比边缘坡度陡峭的碗更好，也就是说，尽量保证碗口边缘与纸张的夹角尽可能小。我有一个大沙拉碗完美符合这一要求。
只要你愿意，用硬纸板做自己的碗也没问题。沿某一半径切开纸板，合拢成一个矮圆锥，然后用胶带或胶水里外固定即可。
从平坦纸板出发朝着碗用胶带贴出一个测地线。当胶带经过碗时，会发生折射。
注意:有些学生可能会把这个模型当成是行星引力场的模型(行星在碗底的位置)，但这并不是一个好的行星引力场模型，它弯曲的方向是错的。更好的模型将会在第3节给出。
6.再贴一条测地线，使其与前一条初始时平行。它会以与前一条不同的冲击参数击中碗，从而产生不同的折射。
7.第3节将会讨论一个更有趣的实验。
等等等等。你懂的。
注意:选择纸张和碗的颜色的时候，选择的颜色尽量与胶带的颜色形成比较大的反差。如果能搞到多种颜色的非弹性胶带，那就更好了。
还有一个建议:你可以把小碗叠在大碗上，来改变势的形状。
注意:曲率具有长度的倒数量纲。较大的曲率对应于较小的曲率半径。对于那些不认真听讲的非专业人士来说，这可能会导致沟通问题(“您是指曲率的大小还是曲率半径?”)。有时候这会导致严重的概念混乱。
注意:在嵌入的世界里存在着我们熟知的重力，但这对胶带没有任何影响。向上弯曲对胶带的影响与向下弯曲完全相同。这些模型在上下颠倒的情况下，或者在宇宙飞船的失重环境中，都是有效的。
再说一遍:胶带并不关心弯曲的区域是凸起的还是凹陷下去的。设想一下，如果你有一个平坦的工作台面，中间有一个碗状的水槽，会发生什么。首先这条胶带会沿着工作台面直直往前走，遇见水槽之后就会开始下沉并顺着水槽内部的弯曲度前进。在任何情况下，测地线都会向内禀曲率高的区域弯曲。
无论是凸起还是凹陷，它们的内禀曲率都是正的，正如在10.5节中所讨论的那样。相比之下，马鞍面具有负的内禀曲率。

2.2 让胶带引导自己
要想构建测地线，需要让胶带自己引导自己。贴胶带的时候，还未贴上去的胶带部分要略微保持松弛，不要尝试用蛮力把胶带向某个方向扯过去。正确的方法是，把手指放在刚贴好的部分上，然后向前滑动手指，把下一段胶带压到位。
尽量避免出现褶皱和拉伸。(当然，也要避免撕裂)把窄胶带贴在弯曲度比较平缓的表面上(如篮球表面)可以把胶带贴得比较平整。另一方面，把宽胶带贴在急剧弯曲的表面上(如弹珠表面)就会不可避免地产生褶皱，这样的练习就变得没有意义了。对于介于两者之间的中间情况(胶带不宽不窄，曲面不急不缓)，这种情况依然会导致胶带出现不可避免的褶皱，但褶皱量不多，此时可以通过调整胶带，使胶带中间保持平整，两侧边缘具有等量褶皱。这么做的道理是，胶带的左右两侧边缘代表了两条相邻的路径，需要保证这两条路径长度相等。

2.3 带有欺骗性的经典模型
作为对比，我们来讨论一下常用来模拟弯曲时空中的运动的一个经典模型，虽然这并不是一个好模型，但是经常被人提起，引起极大的混乱。
这个模型是这样的，想象一个弹珠在碗里滚动。这可以与2.1节中介绍的胶带模型进行对比。
把在碗中滚动的模型当做17世纪经典物理学，即牛顿引力论的模型来看没什么大问题。但把它当做现代物理学，即广义相对论的模型来看就是错误且带有欺骗性的。
在碗中滚动依赖于这样的事实:碗处在地球引力场之中。2.1节所介绍的胶带模型比这要更有优势，因为它与嵌入世界中是否存在引力无关。
如果碗的形状刚好是一个抛物面，那么碗的高度就忠实地代表了经典的引力势，碗上每一点的坡度就代表了引力场。(弹珠是滚动的而不是滑动的，这会带来一些非理想性，不过让我们忽略它。)
如果你在该模型中使用的是玻璃碗的话，那么你就可以用高射投影仪向整个房间演示该模型了。
再强调一遍:尽管这是对经典物理学模型的合理近似，但绝对不是一个模拟广义相对论的正确模型。特别是，碗的弯曲完全不是一个能代表广义相对论用于解释引力的时空弯曲的好模型，一点都不是。
有几个方法可以看出，把碗看成是广义相对论的模型是错的。
让弹珠在平坦的碟子(没有一点弯曲)上滚动，如果此时将碟子向某一边倾斜，弹珠就会偏向那一边。这样弹珠在时空没有弯曲的情况下沿着非直线的轨迹滚动，这与广义相对论完全不相容。
更明显的一点是，如果把碗翻过来，让弹珠在碗的背面滚动，此时弹珠不会被吸引到碗的中心去，而是会被排斥开来。这是很奇怪的，因为(假设碗的背面和正面是相同的形状)内禀曲率在两种情况下完全相同。生活在该二维模型世界上的二维生物可以通过仔细的测量检测到碗是弯曲的，但测量不能告诉它们碗是“向上”还是“向下”弯曲到第三维度中去的。
总而言之，“在碗里滚动”和广义相对论之间的所谓的联系本质上是100%错误的。

3 引力场中的轨道
3.1 使用胶带制作的实物模型
在2.1节中提出的模型定性地演示了弯曲效应，但是如果我们想要更加准确的行星轨道模型，就要对此模型进行一点改进。事实上碗状势模型不是我们想要的，差得还很远。
在环绕轨道上运动的粒子的世界线最好被描述成时空中的螺旋线，因为粒子不仅在二维空间(类空维度)中不停地做环绕运动，同时还要沿着时间方向(类时方向)稳定前进。
正如David Bowman所指出的那样，尝试把螺旋线投影到二维模型上会出现问题。时空不仅在空间方向(类空方向)上是弯曲的，在时间方向(类时方向)上也弯曲了。所以，如果建立的模型仅代表两个空间方向(类空方向)，而抑制时间方向(类时方向)，那就没法正确地表示出那种导致行星轨道的弯曲了。
所以我们的模型应该用其中一个维度来表示时间维度而仅用剩下的一个维度来表示空间维度，这样才会更好。我们会用图片来说明在时间轴上长时间存在的行星引力场。沿着X轴的任意一个方向远离该星球，其引力场会逐渐减弱。
这种引力场可以用飞镖来建模，如图1所示。时间轴竖直向上，空间轴(X轴)水平穿过纸张。图中的五根肋骨中，每根都由两支飞镖组成，共十支飞镖。制作飞镖的方法见第11节。

图1:飞镖导致的弯曲所形成的轨道
需要强调的是，胶带所走的测地线取决于时空在每一点的局部曲率。只要飞镖的分布给定了，每个轨道的实际走向就完全取决于它的起始点和初始方向，没有其他选择。
每当胶带穿过飞镖时，时空弯曲会迫使轨道向中心偏转。从图中可以看出，随着胶带继续延伸，它会“环绕”着中心前进。在D=1+1(1维空间加1维时间)的情况下，每条轨道看起来就像正弦波一样。开始时位于中心稍微偏左的位置的轨道在从图片顶部离开之前走过了半个周期。另一条位于中心稍微偏右的位置的轨道同样也走过了半个周期。第三条轨道开始时位于中心右边较远的位置，最终只走过了一个完整周期的很小一部分。
思考“从点A1到点A2的最短路径是什么”会很意思。有飞镖时和没飞镖时的路径截然不同。事实上在有飞镖(即时空弯曲)的情况下，会有两条不同的测地线从A1连到A2。
提示:我这附近的商店卖的遮蔽胶带有两种宽度，3/4英寸的和1英寸的。由于对于该演示来说胶带越窄越好，所以你可能需要从中间把胶带纵向劈成两半。方法是用一把非常锋利的刀对着一卷胶带干下去，刀子会穿过层层胶带将其切开。
把飞镖粘在透明片上，这样就可以通过高射投影仪让每一个人都能看到该模型了。不过最好是让大家亲自动手实践一下，这样效果会更好。

3.2 计算机绘图
图2所展现的思想与图1一样。图中所展示的平面是xt平面。x=0的轮廓线没有什么特别的意义，只是让我们更容易感受摆动的幅度罢了。
图2并没有与行星相交，它是xt平面在某个非零y值上的映射，其中y值足够大，所以我们不会与行星相撞。
图2:有8个飞镖的xt平面
图3:有16个飞镖的xt平面
此模型在某些方面是忠于现实的，但在某些方面不是。
首先，该模型有时有曲率有时却没有。事实上，在静态引力场中，时空在时间轴上一直都是有相同曲率的。
你可以通过想象出更多更小的摆动来改进这个模型，如图3所示。在你的脑海中继续进行这个过程(想象出越来越多越来越小的摆动)，直到在任何时间都有曲率，或足够接近这个目标为止。
图中Z方向对应的是宇宙外的方向，称为嵌入维。事实上，在广义相对论里，一切都发生在我们的宇宙里，不需要其他方向，不需要嵌入维。
此模型并不尝试解释质量是怎么引起弯曲的，它只负责展示弯曲是怎么影响轨迹的。

3.3 虚假的时空模型
像图4这样的图非常常见，但并不是很符合广义相对论的物理。这样的图有可能起源于这样的“蹦床”模型:将一个很重的保龄球放在蹦床中间，蹦床就会向下凹陷并拉伸，形成一个如图所示那样的凹坑。
图4:xy平面上的凹坑
保龄球会在膜上造成弯曲。目前为止还没什么问题。问题出在有些人想通过把弹珠放进环绕保龄球的“轨道”中来模拟相应的动力学的时候。
可惜的是，在“凹坑”或“蹦床”模型中，没有一个半径恒定的圆是测地线。如果你开着车绕着这样一个圆走，内车胎一定会比外车胎走过的距离要短。这是有问题的，因为测地线的一个定义性质是，如果你沿着一条测地线行驶，你的左车胎和右车胎走过的距离应该是一样的。
图中的Z方向对应的是宇宙外的方向，称为嵌入维。“凹坑”和“蹦床”模型所大量使用的物理(包括牛顿引力物理)都发生在我们宇宙之外的嵌入维中。事实上，在广义相对论里，一切都发生在我们的宇宙内，不需要其他方向，不需要嵌入维。
该模型表明，你可以在xy平面中开着车绕着行星慢慢地沿着一个圆转圈。这是无稽之谈。没有东西在xy平面中运动。在一般情况下，每个事件在时空中的速度(4速)都有一个非常接近1的类时分量(dt/dτ)。也就是说，事件正以每小时60分钟的速率走向未来。相比之下，对于任何在一般地面轨道中运动的东西来说，时空速度的类空分量(比如|dx/dτ|)都远小于1。
对于静态引力场，重要的是类时方向上的弯曲，如图1和图2所示。

4 圆锥上的测地线
4.1 基本构造：投影
图5展示了使用正交投影从上方观察到的圆锥上的测地线。这些测地线都是直的，尽管从图5中不能直接看出来。但看图6的话就容易理解得多了。两幅图展示的其实是同一种情况，只不过图6中的圆锥被切开展平了而已。展开之前切割线严丝合缝，切口没有夹角；展开摊平之后，对于我们正在讨论的这个例子来说，切口夹角为60°。

图5:圆锥上的测地线-正交投影

图6:圆锥上的测地线-等角圆锥投影
正交投影可能看起来很自然，但并不完美。因为它的径向距离看起来缩短了但角向距离却不变，正如4.3节所讨论的那样。这意味着我们必须小心翼翼地测量距离和角度。而展平之后缩短的问题就消失了。尽管并不存在这样一种把弯曲空间投影到平直空间的完美投影法，但对于圆锥来说，等角圆锥投影已经近乎完美；除了有东西跨过切口的时候以外这种投影方式无可挑剔。
黑色大圆在圆锥空间中具有单位长度的半径，这是从顶点沿着圆锥表面测量出来的。
把黑色大圆的半径投影到图5上时其长度将小于单位长度，比它的实际长度要短，这就提供了一个“缩短”的例子。而在图6中该半径等于单位长度，与它本应具有的长度保持一致。
特别地，图5中一个个上了色的小方块其实都是正方形，尽管从图中看着不像。但只要你用正确的度规去测量，你会发现小方块的每一条边的长度都相等，每一根对角线也都等长。而在图6中，这些小方块看起来是正方形的，与它们本应具有的形状一致。距离和角度也都和看起来的一样，除了跨过切口的时候。
请记住，生活在圆锥世界上的生物完全不受我们选用的任何投影的影响。
注:当进行等角圆锥投影的时候，可以沿任意半径切开圆锥，沿哪个半径切开其实不重要。在图6中，切口朝3点钟方向，但沿任何方向切开都能同样好地说明这样一个有趣的观点:所有的测地线都是直的。毕竟，有趣的物理现象都发生在原来未被切开的圆锥上。
这里有一个更冒险的做法:你可以把圆锥切出六十个均匀分布的夹角为1°的切口，而不仅仅是一个夹角为60°的切口。这样会比图6更加对称。然而，我不确定是否应该推荐这样做，因为它带来的误解可能比它消除的误解还要多。具体来说，虽然它可以直观地展现测地线的“逐渐弯曲”，但也只是看起来弯曲而已。事实上，测地线不会弯曲(这是定义！)。
本节中的所有物理过程我都是用计算机来模拟的，但你也可以用纸板圆锥和遮蔽胶带得到同样的结果。

4.2 物理是局部定义的
必须得强调，除了顶点以外，圆锥上任何位置的内禀曲率都为零。数学上，一个理想的圆锥在顶点处的内禀曲率为无穷大。然而，无穷大很难处理得当，所以让我们通过磨掉顶点形成一个很小但不为零的光滑圆润区域来简化模型，当只有在这个区域内的时候才有内禀曲率。
注意，图中的五条测地线都没有进入高曲率区域，它们都完全分布在圆锥上的零曲率部分内。
两幅图中的五条测地线在底部时都是平行的。到了顶部后，五条测地线分成两组，其中一组有两条测地线，另一组有三条，各组内的测地线都分别平行，但两组之间不平行。两组测地线的不同之处在于，其中一组测地线从高曲率区域的左边经过，另一组则从右边经过。
众所周知，平行线永不相交。这是众所周知的事实，但不一定就是真的！它只适用于欧几里得空间。
这里有一个反例:在圆筒上，任何位置都没有内禀曲率，但在某些特定情况下，一条直线可以通过绕圆筒一周与自己相交。如果你能找对方向看过去，你就能看见自己的后脑勺。而且，在具有周期性边界条件的平直空间中，你往任何方向看过去都能看见自己的后脑勺。
更一般的是，“平行线”这一概念在非欧几里得空间中不复存在。在图5中，初始时(在底部)平行的线最终(在顶部)相交。尽管实际上没有一条线经历过任何有内禀曲率的区域。
错误的思维方式：“这难道不是某种幽灵般的超距作用吗？”正确的思维方式：“不，这不是。”
错误的思维方式：“那里的曲率是怎么导致别处的测地线弯曲的？”正确的思维方式：“它没有。”
请记住，测地线不弯曲，这是定义。在图5中，所有的五条线都是直的。某位生活在圆锥宇宙中沿着这样一条测地线移动的观察者，不会经历任何加速。记住，在非欧几里得空间中，整个“平行线”的概念都不存在了。初始平行的线不一定保持平行，即使这些线没有到达过空间中任何非平直区域。
这里有另一种正确的思考方式:为了量化测地线之间的关系，有这么一个叫“测地偏离方程”的玩意儿。其中的细节很复杂，会在第12节讨论。但对于当前的目标来说，知道我们有一个微分方程可以用来描述相邻测地线之间的关系就够了。如果测地线之间的距离不够近，即如果它们之间有间隙，就可以在间隙中构造辅助测地线，然后对间隙进行积分。在图5中，我们不难对蓝色与绿色测地线之间的间隙用辅助测地线进行填充。然而，如果我们试着对绿色与红色测地线之间的间隙进行填充，迟早会有一条辅助测地线跑进高曲率区域。通过这种方式我们就可以理解绿色与红色测地线的相交并不违反“所有物理(包括“直”这一思想本身)描述的都应该只是局部发生的事情”这一原理了。
相似的结论也适用于图1。飞镖产生的内禀曲率仅存在于离散的几个点，即顶点和基底点。图1中胶带的位置已经被安排过，使其不会经过这几个点；胶带所经过的空间部分都是零曲率的。

4.3 投影视图的度规
让我们在图6中选择极坐标$(r,A)$来描述其上的点的位置，其中$r$为半径，$A$为方位角。如果有两个点的坐标分别为$(r,A)$和$(r+\delta r,A+\delta A)$，那么这两点之间距离的平方可以表示为:
$$(\delta s)^2=(\delta r)^2+r^2(\delta A)^2\tag{1}$$
例如，图6中黑色圆弧的长度为$(5/6)2\pi r$，由于$r=1$，故可化简为$(5/3)\pi$。
类似地，让我们在图5中选择极坐标$(\rho,\alpha)$。那么角向的真实物理距离就是它在图5中看起来的那样，即$\delta s=|\rho\delta\alpha|$($\rho$为常数)。例如，图5中黑色圆的长度为$2\pi \rho$，由于$\rho=5/6$，故可化简为$(5/3)\pi$，与上一段计算出来的长度值相等。这当然不是巧合，毕竟这是物理纸板上同一条线的物理长度。
然而，$\rho$方向的距离具有欺骗性。投影半径$\rho$比沿着圆锥表面的真实物理距离(即倾斜的$r$)要短。具体来说:
$$\begin{align*}
\rho=&\sin(\Theta/2)r\\
=&fr
\end{align*}\tag{2}$$
其中$\Theta$是圆锥的张角大小，$f$是缩短系数，定义为$f:=\sin(\Theta/2)$。在这个例子中$f=5/6$。因此用投影变量表示的度规为:
$$(\delta s)^2=(1/f)^2(\delta\rho)^2+\rho^2(\delta\alpha)^2\tag{3}$$
换句话说:由于系数$(1/f)$大于1，所以真实的径向距离要大于投影图让你看到的距离。式3中等式右边只有第一项包含了缩短系数而另一项没有，因此它并不是式1按比例缩放的结果，这一事实严重破坏了我们在投影视图中对距离和角度的直观感觉。

5 预打印的3D圆锥模型
5.1 制作你自己的模型
先打印出一张上面印有测地线的模板，再通过切割与粘合，就可以制作出一个3D纸圆锥的实物模型了。完成效果如图7所示。通过这样的“动手”演示，可以比较深刻地体会到非欧空间中的几个有趣概念，比如说，初始平行的测地线不再保持平行，最终可能相交，即使它们始终是直得不能再直的直线。

图7:印有测地线的3D纸圆锥
参考文献2提供了一些.pdf文件，这些文件和图6差不多，不过还附加了一些说明，有助于引导模型的制作过程。
关于如何制作模型，这里提供几点建议:
最好多打印一份，这样你在制作完3D模型后还能留有一份2D模型以供比较。
可以到当地的办公用品商店打印，无论是letter尺寸的还是ledger尺寸的，只要你敢想他们就敢打。还可以在他们的网站上直接上传pdf文件。他们甚至可以在轻卡纸上打印，尽管根据我的经验，普通的旧纸张强度已经足够了，也更容易使用。
除了标有(**)的操作以外，其他所有的切割都不需要特别精确。
不要沿着2点钟方向切开，而应该沿着红线切开。这样会留下一个涂胶水的地方(如果你用的是胶水的话)，同时还加强了3D模型的强度(无论你用的是胶水、胶带还是其他什么东西)。标着“底层(underlap)”的区域从2:30方向的位置开始，最终在4:30的位置的区域下面结束。
(**)尽量贴近黑色圆弧的两端切割。当进行贴合时，圆弧两端应该首尾相连形成一个圆圈，之间既不要留缝隙也不要有重叠。其他部分的剪切则不需要太精确。
沿着4点钟方向切割，如蓝色箭头所示。浅蓝色的矩形条为切割提供了偏移量参考。也就是说，应该平行于矩形条，并偏移与矩形条宽度相等的量，进行切割。没有任何偏移量的参考线还不如不用参考线，因为你必须把参考线切掉，一旦切得不完美就会留下一点参考线，这样看起来就很难看了。沿着这条线切割时，不需要特别精确，因为这条边最终会和相同颜色的区域重叠在一起。
(**)无论如何，尽量贴近黑色圆弧的两端切割。
最后，沿着外面的黑色弧线切割，它最终会成为圆锥体的边缘。要沿着圆弧外边缘切割。这样切出来的边缘是可见的，所以切得稍微整洁一点会比较好。最重要的是，(**)要特别小心，不要切掉圆弧的两端，因为你需要用它们来对齐粘接口。
将纸沿着红色虚线向下折叠90∘，这样就折出了一个把手(handle)，你可以在粘东西的时候抓住它。它也可以作为一个虽不显眼，但尚可找到的标签，并且不需要双面打印。不要把胶水涂在把手(handle)区域上。
用胶棒(让人联想到口红)的话会很方便，效果也不错。在两个表面上涂上胶水，然后将它们对齐贴在一起。在纸的背面涂胶水很容易，从大概5点钟方向的位置一路涂到4点钟方向的切边。在模型下面放一张草稿纸会很有帮助，这样胶水溢出边缘也不会引发其他问题。
在“底层(underlap)”区域涂上胶水也同样容易。和之前一样，把草稿纸放在模型下面，然后用另一张边缘是直的草稿纸，盖住2点钟方向的位置，防止胶水粘到你不想粘到的地方。
使用这个技巧，并稍加练习，你就可以贴出一个几乎看不见的接缝。
从理论上讲，完全可以用胶带代替胶水，但这样做并不容易，也没有什么好处。因为你得在里里外外都贴上胶带。
在贴合过程中，从边缘开始向内贴合会比较好。可以先用黑色圆弧的两端来对齐第一个位置。接着，利用测地线:它们局部看起来应该是直的(尤其是当你的视线垂直于纸张时，如图7所示)，并且当它们穿过切口时，小方块的间隔应该是均匀的。到这里，你就已经完成了超过一半的粘接工作，然后你就可以让剩下的部分依靠纸张的不可拉伸性自己引导自己了，就像我们在2.1节中让遮蔽胶带自己引导自己一样。

5.2 使用模型
圆锥是有价值的教学垫脚石，因为尽管它是非欧空间，但也尽可能地接近欧氏空间。圆锥除了顶点以外任何位置的内禀曲率都为零。圆锥世界的居民发现它们所在的空间不完全平直的唯一方法就是做一个以某种方式绕过顶点的实验。
把模型放在脚边的地板上，或者挂在与眼睛齐高的墙上，这样你就能从远处直接沿着圆锥的轴线看过去了。这应该是正交投影的一个极好的近似。这个视角看到的圆锥应该类似于图5。也可以靠近一些观察，视线垂直于圆锥表面上的某个很小的局部区域。在任意一个这样的局部区域内，测地线看起来都是直的，就像图7所示的那样。圆锥世界上的居民一点都不怀疑测地线是直的，事实上也应该是直的。
预先打印到模型上的测地线可以与遮蔽胶带和卷尺的组合进行对比。也就是说，测地线不仅是直的，同时上面的小方块还沿着长度方向等间隔分布。想象一下，有一个一英寸宽的胶带，上面沿着长度方向分布着许多一英寸的小方块。
重要的是从模型中我们可以学到很多正确的观念:
事实:假设有两条直线(A和B)，它们初始时平行但后来不再保持平行，最终有可能相交。出于同样的原因，初始时不平行的线有可能会相交两次。
事实:即使A线附近的任意位置的空间都是完全平直的，同时B线附近的任意位置也完全平直，以上事实也同样成立。
不要让这样的事实破坏了你对“直”的概念，这些线确实都是直的。也不要让它破坏了你对“平”的概念，这些线附近空间的内禀曲率确实处处为零。
你在高中几何中学到的“平行”概念需要升级一下。平行线处处平行的观念只在欧氏空间中是对的。你可以用席尔德的梯子(Schild's Ladder)结构来对平行性给出一个可靠的局部定义，这将在第6节详细讨论。这个过程需要构造直线并测量距离，正如我们现在所讨论的那样。
距离的概念不是什么细枝末节的问题。你不能期望有什么神谕会告诉你点a(在A线上)和点b(在B线上)之间的距离。你必须用卷尺从a量到b，或者做一个穿过两点之间空间的类似的实验。因此距离的操作性定义取决于两条线之间的区域的曲率，即使这些线本身事实上从未触碰到高曲率区域。
圆锥不是一个好的引力模型。测地线自身“部分环绕”圆锥的事实并不能作为环绕行星轨道的好模型。一个更好的模型已经在第3节给出。
测地线对其他地方的曲率很敏感，这一事实在天文学和宇宙学中都有直接应用:你不需要着陆到行星表面就能测出行星的质量。只需要把人造卫星发射到环绕行星的轨道上，再应用开普勒定律即可。你甚至可以用这种方法测量黑洞的质量，这非常重要，因为黑洞上并不存在可以给你落脚的表面。