回复：二重积分, 直角坐标系, 极坐标系, 交换积分次序

此题有陷阱，就是红色位置开根号要加绝对值。
.
因为根号的结果是非负的，不能是负数。
使用对称性，然后只计算第一象限的值，再乘以两倍，可以避免这个错误。
.
题目参考第二图例2的立体图形，求圆柱在半球内部的体积。
.

伯努利双纽线。
极坐标方程的推导过程。
.

对称性，只计算第一象限。四倍。
联立方程组算出交点的极角。
θ从0到π/6，r从蓝线到红线。
.

画区域图。
第一象限，y从0到2，x从红线到蓝线。
.

最终的区域: 在第一象限蓝线绿线红线围成。
θ从0到π/2，r从蓝线到绿线。
算积分的时候，用一下wallis公式。
.

只有第一象限才有三条曲线围成的封闭区域。
X型区域要分两个区域，Y型区域只需要一个区域。
Y型区域: y从0到1，x从红线到蓝线。
.

Y型区域虽然只有一个区域，但是积分求不出。
更换积分次序。
增加红线，分开区域。
X型区域，x从0到1，y从蓝线到蓝线。区域关于x轴对称。
X型区域，x从1到4，y从绿线到蓝线。
.

X型区域的积分求不出来。
交换积分次序。
X型区域转Y型区域。
Y型区域: y从1到2，x从绿线到紫线。
求定积分时，用了凑微分。
.

这个楼层的题目也是贴吧经常出现的问题。
.
问题:
因为最终被积函数出现了极角θ，而如果在定极坐标上下限时，将极角θ的上下限取值都加上2kπ，那结果是不是也应该相应增加?
解答:
答案是不用加。
粉色的定积分换元法计算上下限时，由于反三角函数的特殊性，所以在换元时，需要将多加的2kπ再减掉，所以答案是不用加。更详细的情况请看懂最后一图。
.
为了解释这个答案，我在定极坐标上下限时，对θ加了2kπ，最终结果仍然不变。
正常的解答过程，可以直接取θ从负π/4到0，然后直接用arcsin(sinθ)=θ，可以避开这个问题。
.

被积函数含绝对值的，需要分区域。
令被积函数等于零，得到曲线方程。
曲线将坐标系平面分为多个区域，从区域内取一点(x,y)代入到被积函数中，计算之后要么是正数，要么是负数，根据正负可以去掉被积函数的绝对值。
而曲线上的点，代入曲线方程得到的值恒为零。
.
下面举三种最常见的曲线。
蓝线是抛物线，对于同一个x，蓝线上方的y比蓝线上的y要大。蓝线上方区域就是把等号改为大于号。
红线是直线，对于同一个x，红线上方的y比红线上的y要大。红线上方区域就是把等号改为大于号。
绿线是圆，圆内区域就是平时常见的积分区域，就是将等号改为小于号，圆外区域就是将等号改为大于号。
.

绿线拆开变为两个区域，去掉绝对值。
区域D1，区域D2 = D-D1。
D2不容易计算，转为D减去D1。
D用直角坐标，D1用极坐标。
D1的面积是四分之一圆，被积函数为1就是区域面积。
.

分区域去绝对值。
极坐标系。
边界曲线的二重积分为零，所以两个区域都取到x²+y²=1是允许的。
.

分区域去绝对值。
区域D，关于x轴和y轴都对称，用一下对称性。
区域D1，在绿线上方，极坐标系。
极角的范围，可以如图里用代数算法，也可以直接从区域图得到。三角函数的辅助角公式。
.

分区域去绝对值。
红线和x轴围成的区域是被积区域。
蓝线将区域分为两块。
极坐标系。
.