回复：二重积分, 直角坐标系, 极坐标系, 交换积分次序

第二个和第三个是高斯积分，概率论里面很常用，结果要直接背住。
证明方法有很多，这里给出一种转为二重积分的证明方法。
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被积函数恒正，无穷积分的极限审敛法，得到反常积分收敛。
无穷积分改为极限形式，平方后转为二重积分。
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画区域图。取R=1，红色的矩形区域是被积区域D。
绿线是圆心在原点的圆，半径是1。
绿线和坐标轴围成的区域，记为D1。
紫线是圆心在原点的圆，半径是根号2。
紫线和坐标轴围成的区域，记为D2。
则D2包含D，D包含D1。
注意：
D2的半径可以取更大，D1的半径可以取更小，不影响计算。
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用极坐标，分别计算D1和D2的积分值。
计算积分使用凑微分。
夹逼准则。
使用夹逼准则是最严谨的二重积分解法。
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课件的解法。
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课件的解法。
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课件的解法。
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第一行红色是gamma函数，具体请自行搜索。
(2) 用的也是转为二重积分。
(3) a大于零，用一下凑微分。
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二重积分换序。
上下限中，含有三角函数。
这个虽然有一定难度，但是还是需要掌握的。
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红线和蓝线的表达式是不一样的。
蓝线的表达式，见第三张图的红色部分的推导。
y从0到1，x从红线到蓝线。
y从负1到0，x从绿线到紫线。
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sinx的反函数，需要按x的区间进行分段。
同理cosx, tanx也是这样。
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D1的时候，sinx大于等于零，所以是二重积分。
D2的时候，sinx小于等于零，所以需要先添加负号，调换dy的上下限之后，才能转为二重积分。因为二重积分强制要求上限大于等于下线，所以D2前面才有负号。
对sinx的反函数，分段进行表示。
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极坐标系，更换积分次序。
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简便解法：
将极角和极径画成直角坐标，然后再用直角坐标的方法进行换序。
需要注意三角函数的反函数，表达式一般需要分段。
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正常解法：
以极点为圆心画一个圆，然后圆的半径从0慢慢变大，和区域交线的圆弧就是极角θ的范围。
同一个区域，交点个数需要小于等于2个。超过两个，就需要拆开区域。
同一个区域，极角θ的上限和下限的曲线表达式，需要能用一个统一的表达式进行表示。
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蓝线是积分区域。
红线是两个区域分界线。
绿线下限是直线，上限是圆。
紫线下限是圆，上限也是圆。
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代数解法。
也可以直接用不等式进行代数解法。
个人建议：
更换积分次序，还是最好能画出区域图，因为更直观。
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二重积分强制要求上限大于下限。
极坐标系面积微元是rdrdθ，dr前面的r不要忘记。
对称性需要被积区域和被积函数同时满足才能使用。
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用39楼的方法。
极坐标系，更换积分次序。
也可以画成直角坐标系，纵轴是r，横轴是θ。
r从0到a，θ从红线到绿线。
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题目是极坐标累次积分，但是极坐标不容易计算。
极坐标二重积分转为直角坐标二重积分。
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画区域图，将边界曲线转为直角坐标。参考22楼。
将被积函数转为直角坐标。
凑微分计算定积分。
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上个楼层43楼先看懂，区域图是一样的。
二倍角公式。将被积函数转为直角坐标。
最后计算积分时，使用定积分的换元法，wallis公式。
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口算题。
对称性和轮换对称性。
积分区域关于y轴对称。
分子完全平方公式展开，然后分子按奇函数和偶函数分开。偶倍奇零。
取第一象限区域D1，则D1关于y=x对称，满足轮换对称性。
轮换对称，然后和原式相加，被积函数约分后变为1，就是区域的面积，就是四分之一的单位圆面积。
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对称性和轮换对称性。
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(1) 被积函数拆开两项，第一项用轮换对称性，第二项用对称性。
(2) 辅助线y = -x，拆开两个区域，然后利用对称性。
对于x²，也可以用对称性。第一象限和第三象限的积分之和刚好等于第四象限的积分。
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两道题，同一个积分区域，被积函数类似。
添加辅助线y = -x³，拆开两个区域，分别关于x轴和y轴对称。
对称性，最后三角换元，wallis公式。
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第一图是题目，但是这个题目其实有错误。需要增加条件，指明 x 小于等于1，否则就是错题，因为区域有二义性。
原因可以看第二图，蓝线绿线红线围成的区域在蓝线右侧也是有一块的，并不是只有左侧那一块。
看第三图，补上紫线y = 3x，将区域分为两块，分别关于x轴和y轴对称。
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反双曲正弦函数是奇函数，推导过程见第四图。结论请背住，经常考到。
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这题很多吧友问过，到底能不能用对称性?
答案是不能。
因为被积函数不是x的奇函数或偶函数，也不是y的奇函数或偶函数，所以不能用对称性。
只有被积区域对称是不够的。
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也可以用第三图，二重积分换元法，雅可比变换，一个区域就可以了。
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此题有陷阱，就是红色位置开根号要加绝对值。
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此题用X型区域进行计算，先积y，后积x，这样能简化计算。
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如果能灵活使用对称性，就可以避免红色的陷阱。
首先添加紫线y = -x，将区域分为两块。
紫线左下区域关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数，积分值为0。
紫线右上区域关于y轴对称，被积函数关于x是偶函数，积分值是两倍第一象限区域的积分值。
在第一象限区域，x就没有负数了，也就绕过红色开根号加绝对值的陷阱。
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此题有陷阱，就是红色位置开根号要加绝对值。
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因为根号的结果是非负的，不能是负数。
使用对称性，然后只计算第一象限的值，再乘以两倍，可以避免这个错误。
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分区域去掉绝对值。
计算定积分，使用定积分的换元法。
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此题也可以推广，将y的上限改为1，计算过程类似。
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