看了大家的y议论，发现之前有几处想错了，现把完整的贴出来，最后验证了一下n=15的情况。

我来总结一下咯，题目给出的第一个式子若要成立，则默认了存在使得极限收敛的x。在这一前提下，由于指数函数的连续性，极限可以和函数交换，从而x^2=x^lim(a_n)=lim(x^a_n)=lim(a_n+1)=lim(a_n)=2，这也就是前面有人说到的用极限式替换2直接得到结果的严格表述，也是最简单的做法（因为无需求出x的值）。所以得到答案确实可以很快。
那么问题的前提，x存在究竟成不成立呢？
当然成立。我们只需要证明由a_1=√2，a_n+1=√2^a_n决定的数列收敛即可，这里只要用到最简单的单调有界收敛定理。单调性（单调递增）和有界性（上界为2）由指数函数的单调性和数学归纳法可以很容易地证明。
最后，上述结论可以很容易地推广至2被替换为任意大于1的实数的情形，楼上给出了此时x的值。

这个帖子真是精彩，我在此回复以作纪念

厉害啊

最后补充下收敛域吧，仅限于正数。

直接上式两边作为X的指数，不就出来了？

²³³³³³³　　6666666666　　　厉害了23333　　 ²³³³³³³³³³³　　 2333　　 666666　　　　 ²³³　 666　　太牛了！！　　 ²³³³³³³　　6666666 　　厉害了23333　　 ²³³³³³³³³³³　　 2333　　 6666　　　　 66666　　 ²³³³³³³　　6666666

直接把第一式代入第二式，X^2中的2替换成X^X^X...所以还是2

哎这年头赌博还得做高数

知乎上有关于这题的详细分析，不要想的太简单哦，答案不止一个
搜“由根号2的根号2的根号2...次方次方引发的讨论”

把第一个等式两边取以2为底的对数，然后就出来了