是欧拉最早给出来的调和级数公式，∑1/n≈lnn+c，记住：这里是≈，作为≈它也没有错，因为它的最大误差没有超过：0.6.
欧拉给出来的常数是一个固定的常数，但实际的常数是一个变化的：
.....N.........................∑............................lnn..............................标准的变化常数
....1......................1.00000.......................0......................................1.00000
.....2.....................1.50000...................0.67932................................0.80285
.....3.....................1.83333...................1.09861................................0.73472
.....4.....................2.83333...................1.38629................................0.69704
.....5.....................2.28333....................1.60944...............................0.67389
.....6.....................2.45000....................1.79176................................0.65824
.....7.....................2.59286.....................1.94591...............................0.64695
.....8.....................2.71786.....................2.07944...............................0.63842
.....9.....................2.82897.....................2.19722...............................0.63275
....10....................2.92897.....................2.30259...............................0.62638
.....20...................3.59774.....................2.99573...............................0.60201
.....30...................3.99499.....................3.40120...............................0.59379
.....40...................4.27854......................3.68888..............................0.58966
.....50...................4.49921......................3.91202..............................0.58719
.....60...................4.67987......................4.09435..............................0.58719
.....70...................4.83284......................4.24850..............................0.58434
.....80...................4.96548......................4.38203..............................0.58345
.....90...................5.08257......................4.49981..............................0.58276
....100..................5.18738......................4.60517...............................0.58221
.....200.................5.87803......................5.29831...............................0.57972
.....300.................6.28266......................5.70378...............................0.57888
.....400.................6.56993......................5.99146...............................0.57847
.....500.................6.79282......................6.21460...............................0.57822
.....600.................6.97498......................6.39693...............................0.57805
.....700.................7.12901......................6.55108...............................0.57793
.....800.................7.26245......................6.68461...............................0.57784
.....900.................7.38017......................6.80240...............................0.57777
....1000................7.48547......................6.90776...............................0.57771
....2000................8.17837......................7.60092...............................0.57745
....3000...............8.58375.......................8.00637...............................0.57738
从表中可以看出来，常数会越来越小，最后就会等于零。这是实际常数的变化规律，是没有办法否定的，我们只能遵守。
作为欧拉来说，他们那个时代科技是非常的落后的，没有电脑，没有计算器，也没有前人的借鉴，他就不可能对调和级数，有一个完美的认识，这是可以理解的。我们现在科技非常的先进了，又有了前人的借鉴，我们高于欧拉也是正常的。反过来，我们不能站在他的高度去完善他的理论，而是盲目的迷信他的理论，那反而就不正常了。
科学就是在不断的完善前人的不足，而不断前进的！

欧拉发明了一个调和级数的求和公式，同时也把调和级数引向了它的反面，下面用实算证明：
∑1/n=1+0.5+0.3333+0.25+0.2 → 0,
∑lnn+c=0.577+1.27+1.67+1.96 → ∞,
看看，一个驱近于零的数值，变成了一个驱向于无穷大的式子。一般来说:驱近于零的数值是收敛的式子；驱向于无穷大的式子，就是发散的式子。这样就面对了一个问题，调和级数到底是收敛的，还是发散的。
由于受一些纯数学的影响，比如：兔子永远追不上乌龟的，无限级数，永远会的数值的产生，等等，有的人就会认为调和级数应该是发散的，也用一种类比的方法证明了调和级数是发散的。
这样证明调和级数发散的式子就越来越多。我想在历史上肯定也有证明，调和级数是收敛的式子，由于在众多的证明调和级数发散的式子中，被打压下去了。留给我们的就只能是，调和级数发散的式子。现在看来，有二十多种。
其实这二十多种证明调和级数发散的式子，都只能算是左证，因为它们是采用类比的方法和近似的方法来证明的，也就是说用别的一些数学手段来证明它。而不是用自身的规律，来证明自身。
看起来很吓人的，二十多种方法。其实用实算法和数学规律，分分钟就把它们都证伪了。

什么是左证，就是借用别的数学手段来证明：
∑1/n＞∑1/2,
∑1/n＞ln(n+1),
∑1/n＞∫1/xdx,
..................
利用这样的不等式，左边的大于右边的，然后在证明右边的是发散的，然后推理出来左边也是发散的。事实上这样的左证法是违反逻辑的，因为它们并不是同性质的。
∑1/n=1+0.5+0.3333+0.25+0.2 → 0,
∑1/2=1/2+1/2+1/2+1/2 →1/2,
S=ln(n+1)=0.619+1.09+1.39 →∞,
S=lnn+c=0.577+1.27+1.67+1.96 → ∞,
这样也能看出来，他们的性质是相反的，相反的性质是不能进行类比的，不然就违反了逻辑规律。
∑1/2也只能通过玩小把戏，才能让它大于∑1/n，那事实上就是一种假象；
ln(n+1）这个也只是在开始一段时间内小于∑1/n，当超过四百兆兆后，就开始在于∑1/n；
左证只是理论上的证明，这种理论上的证明还不能违反逻辑规律，违反了逻辑规律必然会是错误的。
再说理论证明，并不是全过程的展示，所以，它也没有什么说服力。
后面还会一个个的来揭穿这种假象。

无效值，什么叫无效值，下面看一组式子就自然明白了：
∑1/10ⁿ，∑1/9ⁿ，∑1/8ⁿ，∑1/7ⁿ.............∑1/2ⁿ，这些数都是收敛的，这是你们没有办法否定的，因为它们的收敛值都很小。它们都没有大过一就收敛了，它们的后面数再多也没有意义 ，自然就变成了无效值。
∑1/n≠∞,它之所以不等于无穷大，是因为到了一定大的数值时，就会出现无效值。你如果不懂得什么是无效值，只凭书上来认断，你就会认为调和级数收敛是错误。
当它数值很小，它后面的数还会更小。小到无法再往前面进位了，自然就变成了无效值了。比例：0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
这样小的数值还有意义吗，后面的数还会越来越小，想让它进了前五位那是根本不可能的，它自然就变成无效值了。
还可以更具体更客观地来说：
∑1/10ⁿ，这个一开始就是收敛的，
∑1/10ⁿ=0.1+0.01+0.001+0.0001................，
我说它收敛于：0.112，后面的尾数再多，也是加不到0.112的，这样后面的数，都变成了无效值；
∑1/9ⁿ=0.125,它就收敛了，
后面的尾数再多，也是加不到0.125的，这样后面的数，都变成了无效值；
∑1/8ⁿ=0.143，它就收敛了，
后面的尾数再多，也是加不到0.143的，这样后面的数，都变成了无效值。
∑1/7ⁿ.............∑1/2ⁿ，随着它们后面的值越来越大，收敛值也会越来越大，但最终都会收敛，后面都会出现无效值。
你们没有办法否定它们是收敛的，你们也必须承认无效值的存在。

其实，∑1/n≠0，是一个很简单的问题，就是这样简单的问题，很多人都不能凭着自身的所学来证明它，而是不断的抄外国书上的证明方法，或者就是照着别人的方法改动一下。书呆子都很迷信，迷信使得他们没有自己的思想和主见，书上怎么说，他们就怎么信，从来就不敢去质疑，更不敢用科学规律去证明。
先要明白收敛的必要条件是什么，发散的必要条件是什么：
∑n,是一个绝对发散的式子，我们来看看它的性质，
（1）∑n=1+2+3+4+5+6+7+8+9→ ∞,
（2）后面的数减前面的数都是正数，
9-8=1.
8-7=1，
..................
（3）设：n=5时，
S₁=∑n=15；
设：n=10,
S₂=∑n=55；
S₂-S₁=55-15=40；
n大的减n小的，得出来的是正数。
这就是发散的三个性质。
∑1/n²,这是一个绝对收敛的式子，我们来看看它的性质，
（1）∑1/n²=1+0.25+0.11111+0.0625+0.04→ 0,
（2）后面的减前面的，
0.04-0.0625=-0.0225，
0.0625-0.11111=-0.04861，
（3）收敛的式子都会有个收敛数，到了这个数值就不会再增长了。
设当：n=15000时，收敛为：1.644934，
S₁=∑1/n²=1.644934,
当：n=1000000,
S₂=∑1/n²=1.644934,
S₂-S₁=0.
下面还会举客观的例子来说明。

其实有很多种方法能够证明调和级数是收敛的，这种证明方法一，不违反客观真实；二，不违反数学规律；三不违反逻辑规律。无论是数学证明也好，物理问题证明也好，都不能违反这三点，才具有科学的意义。
下面就用一种，符合数学规律和逻辑规律的方法来证明：

左边和右边的性质都是一样的，都驱近于零；右边的全部展开，完全等于左边的全部展开。所以说，它符合数学规律，也符合逻辑规律。

这个本身也是收敛的：

从图中和实算来看：
s 、、、、、 面积实数、、、、、、、N、、、、、、、、实算数
1、、、、、、0.693、、、、、、、、1、、、、、、、、、1
2、、、、、、0.406、、、、、、、、2、、、、、、、、、0.500
3、、、、、、0.287、、、、、、、、3、、、、、、、、、0.333
4、、、、、、0.223、、、、、、、、4、、、、、、、、、0.250
5、、、、、、0.183、、、、、、、、5、、、、、、、、、0.200
6、、、、、、0.154、、、、、、、、6、、、、、、、、、0.167
7、、、、、、0.133、、、、、、、、7、、、、、、、、、0.143
8、、、、、、0.118、、、、、、、、8、、、、、、、、、0.125
9、、、、、、0.105、、、、、、、、9、、、、、、、、、0.111
10、、、、、0.096、、、、、、、、10、、、、、、、、、0.100
11、、、、、0.087、、、、、、、、11、、、、、、、、、0.091
12、、、、、0.080、、、、、、、、12、、、、、、、、、0.083
13、、、、、0.074、、、、、、、、13、、、、、、、、、0.077
14、、、、、0.069、、、、、、、、14、、、、、、、、、0.071
15、、、、、0.064、、、、、、、、15、、、、、、、、、0.067
16、、、、、0.060、、、、、、、、16、、、、、、、、、0.063
17、、、、、0.058、、、、、、、、17、、、、、、、、、0.059
18、、、、、0.054、、、、、、、、18、、、、、、、、、0.056
S₁→ S₂→ S₃→ S₄→ 0,
∑1/n=1+0.5+0.333+0.25→ 0.
它们的性质是一样的，前面证明了∑1/n是收敛的，那S=S₁+S₂+S₃+S₄.......也应该是收敛的。
收敛的原因：
它们的面积都是小于1的常数，然后驱近于零，会出现很多无穷小数，它们的表示就是这样的：
S=常数+常数+常数...............无穷小+无穷小+无穷小...............，
一切不断越来越小于1的常数相加，还是等于常数；无穷小加无穷小，还是无穷小；常数加无穷小，还是常数；
表达就是：
S=常数+常数+常数..........无穷小+无穷小+无穷小.........=常数+无穷小=常数。
从图中也能看出来，是收敛的：
它们的面积会越来越小，弧线会越来越平行于x轴，当它完全平行于x轴时，它就不会再发生变化了，永远都平行于x轴，自然就收敛了。

盖高楼大厦打基础时，必须对打基础的岩石性质和结构有着真实的了，才明白该怎样的打好基础。如果设想是错误的，是会出大事的。
在数学上对这些不能确定的方程式，往往是采用类比和设想来进行推理，如果这些类比和设想存在问题，就会导致方程的错误。
所以，我只要证明他的设想是错的，它后面的证明就没有任何存在的意义。
lnn＜∑1/n,
在开始一段时间内，是正确的，因为它们的增长数值近似，再由于∑1/n的起头就比lnn大，所以，必然会导致，∑1/n在一段时间内大于lnn.
由于它们的性质是不一样的，
∑1/n→ 0 ,
lnn→ ∞,
最终lnn→ ∞肯定会大过∑1/n→ 0，这是它们的本质决定的，这也数学规律的决定。因为一个走向的是收敛，一个走向的是发散。
∑1/n=常数+常数+常数........无穷小+无穷小+无穷小..........=常数+无穷小=常数，
∑lnn=常数+常数+常数........无穷大+无穷大+无穷大..........=常数+无穷大=无穷大。
下面用实算，来证明：
.....N..................................∑..................................lnn................................变化常数
..二亿亿兆..................74.42497........................74.37587..........................0.04910
..三亿亿兆..................74.82520........................74.78134..........................0.04386
..四亿亿兆..................75.10958........................75.06902..........................0.04056
..五亿亿兆..................75.33051........................75.29216..........................0.03835
..六亿亿兆..................75.51126........................75.47448..........................0.03678
..七亿亿兆..................75.66424........................75.62833..........................0.03591
..八亿亿兆..................75.79687........................75.76217..........................0.03470
..九亿亿兆..................75.91393........................75.98531..........................0.03399
..十亿亿兆..................76.01871........................75.98531..........................0.03340
..二十兆兆..................76.70713........................76.67846..........................0.02567
..三十兆兆..................77.10737........................77.08392..........................0.02345
..四十兆兆..................77.39175........................77.37160..........................0.02016
..五十兆兆..................77.61268........................77.59475..........................0.01793
.六十兆兆...................77.79343........................77.77707..........................0.01536
.七十兆兆..................77.94641.........................77.93122..........................0.01519
.八十兆兆..................78.07904.........................78.06496..........................0.01408
.九十兆兆..................78.19610.........................78.18253..........................0.01357
.百亿亿兆..................78.30088.........................78.28787..........................0.01299
.二百兆兆..................78.98830.........................78.98104..........................0.00726
.三百兆兆..................79.38859.........................79.28651..........................0.00208
.四百兆兆..................79.67297.........................79.67419..........................0.00000
从表中可能看出，在四百兆兆的时候，∑1/n＜lnn，
∑1/n=79.67297-79.67419=-0.00122.。

用快算法，也能对调级数的分单双来进行计算，计算得有些偏高。现在的电脑编程也没有办法进行计算，就是现在最先进的电脑，也无法得出调和级数的标准收敛值来。所以说，只能用快算 法来进行计算，得出来的只是近似值。

总之调和级数是收敛的，这是数学规律和数学计算来证明的，客观事实也能证明它是收敛的。
书上虽然有二十多种方法来证明它是发散的，那都只不过是左证，都是借用别的发散式子，抓住调和级数开始有增值和增值大的特点，玩一些技巧，把它套进发散的式子中去，强迫调和级数发散。这种强迫又是违反逻辑规律的，所以它们都是错误的。
科学的严谨，就在于只认事，不认人，是对是错，只能用科学的方法来证明。而不是迷信的、盲目的来搬弄！

欧拉得出来的公式：∑1/n＝lnn+c，c其实是一个变化的常数，从1→ 0，c是不能为负数的，因为不能出现负增量，所以，当常数为零的时候就收敛了。c=∑1/n-(lnn+c），可以用来计算C的变化，当C为零时收敛。
就是用现在最先进的电脑，也无法能得出调和级数的收敛值，因为计算量太大。所以，也就只能采用快算法来进行计算。
十位数的快算法的算法：
∑1/n=................10（1/61+1/70）1/2，
∑1/N（70）=60+10（1/61+1/70）1/2。
N................快算值...................∑1/n值
70.............4.83328.................4.83286
80.............4.96618.................4.96551
90.............5.08348.................5.08257
100...........5.18757.................5.18743
百位数的算法：
N(200)-N(600)得算法：
∑1/n=...............100（1/101+1/167+1/200）1/3，
∑1/N（200）=100+100（1/101+1/167+1/200）1/3。
N...................快算值...............∑1/n值
200...............5.88390.............5.87810
300...............6.28590.............6.28298
400...............6.57313.............6.57025
500...............6.79440.............6.79315
600...............6.97528.............6.97498
N（700）-N（1000）后采用：
∑1/n=...............100（1/601+1/650+1/700）1/3，
N..................快算值................∑1/n值
700..............7.12964..............7.12901
800..............7.26332..............7.26245
900..............7.38129..............7.38017
1000............7.48671..............7.48547
千位算法：
∑1/n=...............1000（1/1001+1/1600+1/2000）1/3，
N..................快算值...............∑1/n值
2000.............8.19671..............8.17837
3000.............8.60261..............8.58375
.............
从表中可以看出来，快算法有点偏高，偏会拉高N得收敛数。
万位-百万位的算法：
∑1/n=10000（1/10001+1/17000+1/2000）1/3，
∑1/n=100000（1/100001+1/170000+1/200000）1/3，
∑1/n=1000000（1/1000001+1/1700000+1/2000000）1/3，
百万位以上的算法：
∑1/n=.................10000000（1/10000001+1/1410000+1/180000+1/2000000）1/4.......
当然：
还要根据实际情况来进行调节，高了就调低点，低了就调高点，保持它们在一个中线的范围内。当n值越来越大，实数会越来越小，对于零位也要适当的调节。

用快算法得出来的收敛结果：
.......N.........................∑...........................lnn...........................变化常数
....4000..................8.87075.................8.29405......................0.57670
....5000..................9.09342.................8.51719......................0.57623
....6000..................9.27515.................8.69952......................0.57563
....7000..................9.42882.................8.85367......................0.57515
....8000..................9.56196.................8.98719.......................0.57487
....9000..................9.67958.................9.10498.......................0.57460
....一万...................9.78467.................9.21034.......................0.57433
....二万..................10.47584................9.90349.......................0.57235
....三万..................10.87719...............10.30895......................0.56824
....四万..................11.16213...............10.59663......................0.56550
....五万..................11.38340...............10.81978......................0.56362
....六万..................11.56438...............11.00210......................0.56228
...七万...................11.71740...............11.15625......................0.56115
...八万...................11.85016...............11.28978......................0.56036
...九万...................11.96733...............11.40757......................0.55976
...十万...................12.07219...............11.51293......................0.55926
..二十万................12.76336...............12.20678......................0.55658
..三十万................13.16471...............12.61154......................0.55317
..四十万................13.44965...............12.89922......................0.55043
..五十万................13.67092...............13.12236......................0.54856
..六十万................13.85190...............13.30469......................0.54721
..七十万................14.00502...............13.45884......................0.54618
..八十万................14.13778...............13.59237......................0.54541
..九十万.................14.25495..............13.71015......................0.54480
...百万...................14.35981...............13.81551......................0.54430
..二百万................15.05098................14.50866.....................0.54232
..三百万................15.45233................14.91412.....................0.53821
..四百万................15.73727................15.20181.....................0.53546
.....N...........................∑...........................lnn.............................变化化常数
..四十亿................22.59913................22.10956........................0.48957
..五十亿................22.82040................22.33275........................0.48765
..六十亿................23.00138................22.51503........................0.48635
..七十亿................23.15450................22.66960........................0.48490
..八十亿................23.28726................22.80271........................0.48455
..九十亿................23.40443................22.92049........................0.48394
....百亿.................23.50929................23.02585........................0.48344
..二百亿...............24.20046.................23.71900........................0.48146
..三百亿...............24.60181.................24.12445........................0.47736
..四百亿...............24.88675.................24.41215........................0.47460
..五百亿...............25.10802.................24.63629........................0.47273
..六百亿...............25.28900................24.81761.........................0.47139
..七百亿...............25.44212................25.10559.........................0.47036
..八百亿...............25.57488................25.10559.........................0.46959
..九百亿...............25.69205................25.22308.........................0.46897
...千亿.................25.79691.................25.32844.........................0.46847
..二千亿..............25.48808.................26.02158..........................0.46650
..三千亿..............26.88943.................26.42705..........................0.46238
..四千亿..............27.17437.................26.71473..........................0.45964
..五千亿..............27.39564.................26.93787..........................0.45777
..六千亿..............27.57662.................27.12020..........................0.45642
..七千亿..............27.72974.................27.27435..........................0.45539
..八千亿..............27.86250.................27.40788..........................0.45462
...九千亿.............27.97967.................27.52366..........................0.45401
...万亿.................28.06453................27.63102..........................0.45351
...二万亿.............28.77570.................28.32417..........................0.45153
..三万亿..............29.17705.................28.72963..........................0.44742
.....N..................................∑..................................lnn................................变化常数
..二亿亿兆..................74.42497........................74.37587..........................0.04910
..三亿亿兆..................74.82520........................74.78134..........................0.04386
..四亿亿兆..................75.10958........................75.06902..........................0.04056
..五亿亿兆..................75.33051........................75.29216..........................0.03835
..六亿亿兆..................75.51126........................75.47448..........................0.03678
..七亿亿兆..................75.66424........................75.62833..........................0.03591
..八亿亿兆..................75.79687........................75.76217..........................0.03470
..九亿亿兆..................75.91393........................75.98531..........................0.03399
..十亿亿兆..................76.01871........................75.98531..........................0.03340
..二十兆兆..................76.70713........................76.67846..........................0.02567
..三十兆兆..................77.10737........................77.08392..........................0.02345
..四十兆兆..................77.39175........................77.37160..........................0.02016
..五十兆兆..................77.61268........................77.59475..........................0.01793
.六十兆兆...................77.79343........................77.77707..........................0.01536
.七十兆兆..................77.94641.........................77.93122..........................0.01519
.八十兆兆..................78.07904.........................78.06496..........................0.01408
.九十兆兆..................78.19610.........................78.18253..........................0.01357
.百亿亿兆..................78.30088.........................78.28787..........................0.01299
.二百兆兆..................78.98830.........................78.98104..........................0.00726
.三百兆兆..................79.38859.........................79.28651..........................0.00208
.四百兆兆..................79.67297.........................79.67419..........................0.00000
通过快算法就能看出来，常数是一个变化的，由1一步步的驱近于零，这就是它的数学规律，这是没有办法否定的。当变化常数为零的时候就收敛了！

很多方法都能证明调和级数是收敛的，有的还能得出收敛值。


跟我快算法得到的收敛值，很接近。
虽然我的收敛值得到了另一种方法的左证，但根据自己的经验和综合各方面的因素来看，它的标准的收敛值应该在：65-----85之间。
初稿完成，
后面还会进行修改和整理。

前面已经证明了调和级数的常数是变化的，从1→0，它的变化过程是：
Sⁿ=1.0000+9.83284+0.73472+0.69704+0.65824...........→0，
会出现无穷小数，无穷小数就变成了无效值，
∑1/n=1.00000+1.50000+1.833333+2.083333..............=a+(-∞)=a；
欧拉取得是一个平均后的常数，0.57716，它是一个不变的常量：
Sⁿ=∑0.577216+0.577216+0.577216+0.577216............→0.577216.
无穷个0.577216，就会出现无穷大，
∑1/n≈lnn+c=∞+0.577216=∞,
这样它就把调和级数的性质改变了，收敛的就变成了发散的；
只有建立正确的调和级数公式，才不会把它引向错误的道路上去：

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