【技术帖】计算对数积分的一个系统性方法

楼上图中的积分，笔者称作为‘对数积分’，当然这个名词是有点滥用了。它们拥有丰富的内在对称性，其计算结果也是十分有趣的。关于一些例子，可以看:
积分竞赛 [Season 7] Question 10
http://tieba.baidu.com/p/5499192880
来自吧主的一道题目：
http://tieba.baidu.com/p/5489442922
此帖中心主题为特殊积分、特殊函数，并要求读者熟悉多重对数(polylogarithm)

它们的计算通常是利用欧拉和(Euler Sum)的一些恒等式，但此帖不涉及该内容。不过Euler Sum也具有很玄妙的性质，读者不妨看一看

笔者主要讨论一下三种积分：

请读者特别留意这三个记号，它们将贯穿整个帖子。在不导致混淆的情况下，我们将略去记号中的逗号，例如将i_(1,2,3,0)简记为i1230
在以上图片中，我们称a+b+c+1为该积分的权数(weight)。例如i1230是一个权数为7的对数积分。

本主题分为以下几个部分：
1. 对数积分的概览
2. 二、三权对数积分的计算
3. 四权对数积分的计算
4. 五权对数积分的计算
5. 六权对数积分的计算
若将来会增加更多主题，将在回复中给出
以上的章节的难度是递增，而笔者会从最简单的讲起。想要目睹精彩（weight 5,6 积分的计算）的读者，请务必持续关注喔

让我们看一看这几个例子，它们的权数分别是3,4,5,6。是否注意到它们的表达式都和权数有关系呢？
就像多项式一样。我们定义一些常数的次数(degree):
例如ln 2的次数为1，pi的次数为1，zeta(n)的次数为n，polylog(n,1/2)的次数为n，任意有理数的次数为0。
而且deg(ab) = deg a + deg b。
其中polylog(n,1/2)为n阶多重对数在1/2处的值。有了这些定义之后，你就会看见n权对数积分的结果中，每一项的次数都是n
当然，这不构成一个严谨的定义，因为我们还不能证明他们在有理数域上的线性独立性。

练习3：证明以下各式

现在进入第二部分：三权对数积分的计算。按笔者开始所讲，我们不会用到任何Euler Sum的知识。
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由练习3，我们知道i0200 和 i0202的值；
下面计算i0021和i1011：

这两个直接用分部积分或级数解应是颇繁琐的

练习4：
由此计算i1011, i1012。并利用polylog(3,1/2)的值计算i2002

P大神总结的好，大赞！时刻关注！