量子的书中一般用厄米算符来导出不确定关系，这里用个别的方法
自由粒子的波函数为平面波：
ψ(x,t)=Aexp(i(px-Et)/h),h为约化普朗克常数
这是动量的本征函数，动量p是确定的，位置x则完全无法确定，因为这个波函数的几率幅处处相等，粒子在任意的位置出现的概率都是相等的。
一个任意的波函数可看作具有不同动量的波函数的叠加。
于是：
ψ(x,t)=∑c(p)exp(i(px-Et)/h)
p可以连续变化，-Et可以分离出来和c(p)合并变成c(p,t),所以可写成：
ψ(x,t)=∫c(p,t)exp(ipx/h)dp
显然，c(p,t)和ψ(x,t)构成类似于傅立叶变换对的关系，为了使逆变换具有比较对称的形式，改写成：
ψ(x,t)=1/sqrt(2πh)∫c(p,t)exp(ipx/h)dp      (1)
逆变换为：
c(p,t)=1/sqrt(2πh)∫ψ(x,t)exp(-ipx/h)dx     (2)
这里的ψ(x,t)和c(p,t)的关系和傅立叶变换对略有区别，主要是出现了h，观察(1)(2)两式，对比傅立叶变换，易知：
ψ(x,t)=(F^-1c)(x/h,t)/sqrt(h)  (3) F^-1代表傅立叶逆变换算子
c(p,t)=(Fψ)(p/h,t)/sqrt(h)     (4) F代表傅立叶变换算子
考虑一般的傅立叶变换对g(x)和G(p)，设Δg为f(x)的几率幅下的标准差，ΔG为G(p)的几率幅下的标准差
有：ΔgΔG>=1/2   (5)
证明过程较繁琐不写了,关键是使用帕塞瓦尔恒等式和柯西-史瓦西不等式，有关傅立叶分析的书上会有介绍。
设Δx为ψ(x,t)的几率幅下的标准差，Δp为c(p,t)的几率幅下的标准差，由(3)(4)可知
若令Δx=Δg，则Δp=hΔG
代入(5)可得：
ΔxΔp=hΔgΔG>=h/2
这正是不确定关系。
类似的，把ψ(x,t)按不同能量叠加，则与c(x,E)构成类似傅立叶变换对的关系，所以能量E和时间t也构成不确定关系