我现在只记得分形维的定义了，拓扑维的定义已经忘了…………
LZ给说一下吧�

拓扑维的定义非常杂乱

如果拓扑空间和欧氏空间R^n同胚，则拓扑空间为n维，这是古老的维度概念，不是个正式定义，而且只对和欧氏空间同胚的拓扑空间有效。

适用于任何拓扑空间的维数定义，我知道的有：小归纳维数，用数学归纳法定义：

空集的维数为-1
对于任意拓扑空间X,X的维数是满足下列条件的最小的n：
X中任意一点x的任意一个邻域U，U中存在一个x的邻域V，V的闭包包含于U且V的边界的维数<=n-1

还有大归纳维数，略有区别。

同胚的空间具有同样的维数（包括小归纳维数），一般认为皮亚诺曲线的拓扑维数是1，我不知道这个说法的理由是什么。
皮亚诺曲线必然自相交，无法和区间[0，1]同胚，能否和正方形区域同胚呢？这个值得思考，如果可以，那么皮亚诺曲线当然就是2维

说真的貌似没几个人懂这个。纯数学？和物理有关吗？

先说楼上：这是纯数学的内容，但是不表示对物理就没影响。现在有人在研究分形三角毯（名字忘了………………）上的热力学传导过程，而这个过程对复杂网络、混沌等物理过程都有很重要的联系。
而且维度的数学内容也影响了许多近代物理。比如超弦中的很多结论都与维度有关的。因而搞清楚维度的定义和性质对物理是有帮助的。

然后是Piano曲线。我想可以这么做映射：
首先，选一个无穷维空间。在这里Piano曲线的“转折”部分可以做成每次都往一个不同的方向转折。由于是无穷维空间，因而这里Piano曲线最终可以是不自相交的。有由于除了转折方向不同以外，别的性质方面，无穷维的Piano曲线与二维平面上的Piano曲线是完全相同的，因而两者应该是同构的。
然后，无穷维Piano曲线不自相交，因而总能与区间[0,1]同胚，因而无穷维Piano曲线与直线段同胚，从而平面上的Piano曲线与直线段同胚。

lost的想法是构造一个无穷维的皮亚诺曲线
但是，无穷维皮亚诺曲线和平面皮亚诺曲线却不是同胚的，因为：在平面皮亚诺曲线的每一个自相交处的点，映射到无穷维皮亚诺曲线以后，不可避免的会分裂为2个点

我却可以通过构造使皮亚诺曲线和正方形区域同胚：
皮亚诺曲线上每一点和它在平面上的笛卡尔坐标一一对应，利用平面的欧氏度量诱导出皮亚诺曲线的拓扑，这样，皮亚诺曲线和正方形区域具有完全相同的拓扑，这样皮亚诺曲线上每一点到它的笛卡尔坐标是一个同胚映射，于是皮亚诺曲线和正方形区域同胚。
但这样没意义，因为这样的话，皮亚诺曲线和正方形区域就没有任何分别了。

更合理的可能应该这样构造皮亚诺曲线的拓扑：
设皮亚诺曲线对应的道路是f：[0,1]->[0,1]×[0,1]
曲线上每个自相交的点对应到[0，1]是两个点，将每一对点作粘合形成一个粘合空间以及粘合拓扑，然后把这个粘合拓扑中的每个开集按f映射到[0,1]×[0,1]以后的一族开集的作为皮亚诺曲线的拓扑。
这样的话，显然这个粘合空间和皮亚诺曲线是同胚的，它是1维还是2维呢（小归纳维数）,这个就很值得想一想了。

分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
　　维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。
　　当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。
　　对于我们上面提到的Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714...

楼上，我想探讨的话题和分形几何没有关系

4楼：最近吧里气氛不大活跃，所以发起点新话�

拓扑维度是1维的，因为由有限长线段构成。
分维是2维，因为能铺满平�

9楼的说法过于模糊和粗糙了

为了让本贴的话题不至于发散，我想，对于拓扑维数，大家可以先仅仅考虑我3楼提到的小归纳维数，其他的拓扑维数暂时不考虑。
对于皮亚诺曲线的拓扑，先考虑成和我6楼提到的对[0，1]作了粘合手续后产生的粘和空间同胚的拓扑空间。

对拓扑不熟的吧友可能对粘合空间有些晕，这里简要介绍一下：
对于拓扑空间X，我们给出一个映射f:X->Y,Y是把X中的部分点合并而成的集，Y上的粘合拓扑是使f连续的最大拓扑。
Y配置了粘合拓扑而成的拓扑空间叫做粘合空间。
比如说墨比乌斯圈就是个粘合空间

最大拓扑的意思是：拓扑之间可以建立偏序关系，最大拓扑是指包含了任何其他拓扑的拓扑，如果不加条件限制，显然空间X上的最大拓扑是离散拓扑。

几何上的点、线、面是抽象概念,点无大小,线无粗细,面无厚薄.只是平时为了研究、讲解方便才把它们画的看待见，看不见的线如何能填满面积?

抽象一点,一个一平方公里正方形,用极细的线纵横排列组成的筛子也能把最小的原子拦住,而筛网的正投影面积可以是正方形面积的亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿………亿亿亿亿亿分之一。

楼上，皮亚诺曲线能填满正方形用精确的数学语言来说是：

正方形区域[0,1]×[0,1]中的任意一点，都在皮亚诺曲线上

楼上，皮亚诺曲线能填满正方形用精确的数学语言来说是： 

正方形区域[0,1]×[0,1]中的任意一点，都在皮亚诺曲线上(空心线),所以也可以是无底筛(空的,填不满).

桌上一只杯子占据一个杯子的空间,将杯子移去,原先杯子形状的空间依然存在,空间也要占据空间,四大皆空也.

楼上用的语言不是数学语言，令人听不太懂。
不管怎样，谢谢参与�