哈哈，拉普拉斯碰到捣浆糊的家伙了�

是啊，什么筛子漏斗拦住原子，这是在搞什�

皮亚诺曲线不通过无理数坐标点，所以皮亚诺曲线是1维的

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当年的禅师体：
青年问禅师：“我的心被忧愁和烦恼塞满了怎么办?”禅师若有所思地说：“你随手画一条曲线。用放大镜放大了看。它的周围难道不是十分明朗开阔吗?” 那个青年画了一条皮亚诺曲线。

拓扑维度绝对是一维

我觉得这个讨论有些问题啊——
皮亚诺曲线是作为一个函数还构造的，P:[0, 1]→[0, 1]×[0, 1] ，且P连续。这个函数的是满射的（它的像就是[0, 1]×[0, 1])，但是不是单射，它在[0, 1]×[0, 1]上处处自相交。如果讨论像的维度，它的像就是[0, 1]×[0, 1]，所以像肯定就是2维，不论是说豪斯道夫维度还是作为流形的维度。（其实讨论豪斯道夫维度的时候都是讨论像的维度。）
但是上面大家的讨论似乎并不想讨论像的维度，因为它太显然了。大家似乎想讨论的是“一条曲线”。问题是它的像不是一条曲线而是一个正方形，只是是以曲线来构造的而已。
当然了，皮亚诺函数的定义是作为一个函数P的，而一个函数也可以看成是一个拓扑空间，如下：
一个函数f表示成集盒通常是表示成f={(x, f(x))|x∈dom(f)}，其中(,)代表有序数对，dom(f)是f的定义域。也就是说，一个函数写成集盒就是它的函数图像的点集。这样看的话，P这个函数是[0, 1]×([0, 1]×[0, 1])这个三维正方体里面的一条一维的曲线，这是显然的，而且对于第一个[0, 1]里面的每个取值，这曲线都只有一个点。
我觉得大家的争论主要是分不清到底是在讨论哪个维度？

其实皮亚诺曲线，广义的说，就是在一个正方形内所有相邻有理数之间水平和垂直连线的**——那自然也就是正方形本身。