回复：【普及】Gamma函数与Psi函数

信息很足了

真发了啊

现在我们来证明一个极限展开式，先证明它对于0到1成立，再证明它对于大于0的实数成立。使用了下凸的性质。

对于复数域上的gamma函数极限展式，式子也是成立的，这里不讲了，有兴趣的参见下面这个贴子的证明:
http://tieba.baidu.com/p/4695848148?share=9105&fr=share&see_lz=0

证明威尔斯特拉斯无穷乘积展开

伪前排插一下

咦，鸽了

这个定理其实是很神奇的，它表明了gamma函数其实仅仅由它的三个性质决定。
稍微讲讲这个神奇的性质:对数凸。如果某个函数取对数还是凸函数，那么我们称它为对数凸的。一般来讲，凸函数的导数增加，取对数之后很多函数增长速率都会下降从而变成上凸函数。指数函数e^(ax)是凸函数，取对数后变成线性函数（线性函数也是凸函数，是凸函数的最低要求），这已经是对数凸的底线了。但gamma函数取对数后仍然能保持非线性的下凸，这可以在几何直观上说明gamma函数的增长速度非常快。也表现出阶乘的增长快过指数增长。

http://tieba.baidu.com/p/4894586490?share=9105&fr=share&thread_type=33
这个贴子已经证明过Γ(1/2)=√π.
这里将会使用这个结论。
注意，Gamma函数只有在整数和半整数（1/2，3/2等）上有不用Gamma函数表示的解，其它数值算不出来，如Γ(1/3)就写作Γ(1/3)没有初等表示方法。

注:如果f(x)是凸函数，那么f(kx+b) (k大于0)也是凸函数；
如果f,g是凸函数，那么f+g也是凸函数。

催更

楼主。。下面没有了

写的棒棒哒